Номер 3.3, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.3. Отрезок $AO$ — медиана треугольника $ABD$, отрезок $BO$ — медиана треугольника $ABC$ (рис. 3.10). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 3.10

3.3. Отрезок $AO$ — медиана треугольника $ABD$, отрезок $BO$ — медиана треугольника $ABC$ (рис. 3.10). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 3.10

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, отрезок $AO$ является медианой треугольника $ABD$. По определению, медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезка $BD$. Это означает, что $BO = OD$.

Также по условию, отрезок $BO$ является медианой треугольника $ABC$. Аналогично, это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$. Следовательно, $AO = OC$.

Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ диагонали ($AC$ и $BD$) пересекаются и в точке пересечения ($O$) делятся пополам.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия, что $AO$ — медиана $\triangle ABD$, следует, что $O$ — середина $BD$ ($BO=OD$). Из условия, что $BO$ — медиана $\triangle ABC$, следует, что $O$ — середина $AC$ ($AO=OC$). Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам, он является параллелограммом по соответствующему признаку.