Номер 3.5, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.5. Две окружности имеют общий центр $O$ (рис. 3.11). В одной из окружностей проведён диаметр $AB$, в другой — диаметр $CD$. Докажите, что четырёхугольник $ACBD$ — параллелограмм.

Рис. 3.11

3.5. Две окружности имеют общий центр $O$ (рис. 3.11). В одной из окружностей проведён диаметр $AB$, в другой — диаметр $CD$. Докажите, что четырёхугольник $ACBD$ — параллелограмм.

Рис. 3.11

Рассмотрим четырехугольник ACBD. Отрезки AB и CD являются его диагоналями.

По условию, две окружности имеют общий центр в точке O.

Отрезок AB является диаметром одной из окружностей. По определению, центр окружности является серединой любого ее диаметра. Следовательно, точка O — середина отрезка AB, и выполняется равенство $AO = OB$.

Аналогично, отрезок CD является диаметром другой окружности с тем же центром O. Следовательно, точка O — середина отрезка CD, и выполняется равенство $CO = OD$.

Таким образом, диагонали четырехугольника ACBD пересекаются в точке O, которая является серединой каждой из них.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник ACBD — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.