Номер 2.10, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.10. Биcсектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Определите величину угла $M$ треугольника $ABM$.

2.10. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Определите величину угла $M$ треугольника $ABM$.

По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. В параллелограмме $ABCD$ углы $A$ и $B$ являются соседними (прилежат к стороне $AB$), следовательно, их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$

По условию задачи, $AM$ и $BM$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Это означает, что они делят эти углы пополам:

$\angle MAB = \frac{1}{2} \angle DAB$

$\angle MBA = \frac{1}{2} \angle ABC$

Рассмотрим треугольник $ABM$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому:

$\angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$:

$\angle AMB + \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle ABC = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AMB + \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC) = 180^\circ$

Мы уже знаем, что сумма углов $\angle DAB + \angle ABC$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle AMB + \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ$

$\angle AMB + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $M$ (то есть $\angle AMB$):

$\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.