Номер 2.8, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.8. Найдите углы параллелограмма ABCD (рис. 2.9), если $\angle ABD = 68^\circ$, $\angle ADB = 47^\circ$.

Рис. 2.9

2.8. Найдите углы параллелограмма ABCD (рис. 2.9), если $\angle ABD = 68^\circ$, $\angle ADB = 47^\circ$.

Рис. 2.9

Рассмотрим треугольник $ABD$, который является частью параллелограмма $ABCD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. По условию нам известны два угла этого треугольника: $\angle ABD = 68^\circ$ и $\angle ADB = 47^\circ$.

1. Нахождение угла A
Угол $\angle A$ параллелограмма является третьим углом треугольника $ABD$. Вычислим его:
$\angle A = 180^\circ - (\angle ABD + \angle ADB)$
$\angle A = 180^\circ - (68^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

2. Нахождение угла C
В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, $\angle C$ равен $\angle A$:
$\angle C = \angle A = 65^\circ$.

3. Нахождение углов B и D
Существует два способа найти оставшиеся углы.

Способ 1: Использование свойства смежных углов параллелограмма.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Поэтому:
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.
Так как противолежащие углы равны, то $\angle D = \angle B = 115^\circ$.

Способ 2: Использование свойства параллельных прямых.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны.
Прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны:
$\angle CBD = \angle ADB = 47^\circ$.
Полный угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) равен сумме его частей:
$\angle B = \angle ABD + \angle CBD = 68^\circ + 47^\circ = 115^\circ$.
Аналогично, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $BD$ — секущая. Накрест лежащие углы $\angle CDB$ и $\angle ABD$ равны:
$\angle CDB = \angle ABD = 68^\circ$.
Полный угол $\angle D$ (или $\angle ADC$) равен сумме его частей:
$\angle D = \angle ADB + \angle CDB = 47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Углы параллелограмма $ABCD$ равны: $\angle A = 65^\circ$, $\angle B = 115^\circ$, $\angle C = 65^\circ$, $\angle D = 115^\circ$.