Номер 1.33, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.33. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

1.33. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

Пусть $D$ — длина наибольшей диагонали выпуклого многоугольника. Нам нужно найти максимальное возможное количество сторон этого многоугольника, длина которых равна $D$.

Рассмотрим сначала, какие ограничения накладывает وجود стороны, равной по длине наибольшей диагонали.

1. Оценка сверху

Пусть сторона $AB$ многоугольника имеет длину $D$. Проведем через точки $A$ и $B$ две прямые, перпендикулярные отрезку $AB$. Обозначим их $l_A$ и $l_B$. Поскольку $D$ — это максимальное расстояние между любыми двумя вершинами многоугольника, все остальные вершины должны лежать в полосе, ограниченной прямыми $l_A$ и $l_B$.

Пусть $A$ и $B$ — это вершины $A_i$ и $A_{i+1}$ соответственно. Рассмотрим соседние с ними вершины $A_{i-1}$ и $A_{i+2}$. Вершина $A_{i+2}$ должна лежать в указанной полосе. Это означает, что проекция точки $A_{i+2}$ на прямую $A_iA_{i+1}$ должна попасть на отрезок $A_iA_{i+1}$. Отсюда следует, что внутренний угол многоугольника при вершине $A_{i+1}$, то есть $\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$, не может быть тупым, т.е. $\angle A_{i+1} \le 90^\circ$. Аналогично, рассматривая вершину $A_{i-1}$, получаем, что внутренний угол при вершине $A_i$, $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$, также должен быть не больше $90^\circ$.

Таким образом, если сторона многоугольника равна по длине наибольшей диагонали, то внутренние углы при ее вершинах — не тупые (не более $90^\circ$).

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Внешний угол при некоторой вершине равен $180^\circ$ минус внутренний угол. Если внутренний угол не превышает $90^\circ$, то соответствующий ему внешний угол будет не меньше $90^\circ$.

Пусть в многоугольнике есть $k$ сторон, равных наибольшей диагонали $D$. Обозначим через $V_S$ множество вершин, которые являются концами этих сторон. В каждой вершине из $V_S$ внутренний угол не превышает $90^\circ$, а внешний — не меньше $90^\circ$. Сумма внешних углов только по этим вершинам будет не меньше, чем $|V_S| \cdot 90^\circ$. Так как эта сумма не может превышать $360^\circ$, получаем неравенство:

$|V_S| \cdot 90^\circ \le 360^\circ \implies |V_S| \le 4$.

Таким образом, число вершин, являющихся концами сторон длины $D$, не может быть больше четырех.

Теперь оценим количество таких сторон $k$:

• Если $k=4$, то минимальное число вершин в множестве $V_S$ равно 4 (если стороны образуют четырехугольник) или больше (если стороны не образуют замкнутую фигуру). Рассмотрим случай четырехугольника, все стороны которого равны $D$. Это ромб. В ромбе со стороной $D$ диагонали $d_1$ и $d_2$ связаны соотношением $d_1^2 + d_2^2 = 4D^2$. Наибольшая диагональ должна иметь длину $D$. Пусть $d_1=D$. Тогда $D^2 + d_2^2 = 4D^2$, откуда $d_2^2 = 3D^2$ и $d_2 = D\sqrt{3}$. Но $D\sqrt{3} > D$, что противоречит тому, что $D$ — наибольшая диагональ. Следовательно, $k=4$ невозможно.
• Если $k>4$, то число вершин $|V_S|$ будет больше 4, что также невозможно.

Таким образом, количество сторон, равных наибольшей диагонали, не может превышать 3.

2. Пример для $k=3$

Докажем, что 3 такие стороны возможны. Построим пример выпуклого пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$, у которого три стороны равны его наибольшей диагонали.

Рассмотрим в координатной плоскости вершины:

• $A_2 = (0, 0)$
• $A_3 = (D, 0)$
• $A_5 = (\frac{D}{2}, \frac{D\sqrt{3}}{2})$ (вершина равностороннего треугольника со стороной $A_2A_3$)

Теперь выберем вершины $A_1$ и $A_4$ симметрично относительно оси $x=D/2$. Пусть $A_1$ лежит на окружности радиуса $D$ с центром в $A_2$, а $A_4$ — на окружности радиуса $D$ с центром в $A_3$. Возьмем их на высоте $y = D/2$:

• $A_1 = (\frac{D\sqrt{3}}{2}, \frac{D}{2})$
• $A_4 = (D - \frac{D\sqrt{3}}{2}, \frac{D}{2})$

Проверим длины сторон и диагоналей.

Стороны:$|A_1A_2| = \sqrt{(\frac{D\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2} = \sqrt{\frac{3D^2}{4} + \frac{D^2}{4}} = D$.$|A_2A_3| = D$.$|A_3A_4| = \sqrt{(D - (D - \frac{D\sqrt{3}}{2}))^2 + (\frac{D}{2})^2} = \sqrt{(\frac{D\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2} = D$.Итак, у нас есть три стороны $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$ длиной $D$.

Диагонали:$|A_2A_5| = \sqrt{(\frac{D}{2})^2 + (\frac{D\sqrt{3}}{2})^2} = D$.$|A_3A_5| = \sqrt{(D - \frac{D}{2})^2 + (\frac{D\sqrt{3}}{2})^2} = D$.$|A_1A_3|^2 = (D - \frac{D\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2 = D^2(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = D^2(2-\sqrt{3}) < D^2$.$|A_2A_4|^2 = |A_1A_3|^2 < D^2$.$|A_1A_4|^2 = (D - \frac{D\sqrt{3}}{2} - \frac{D\sqrt{3}}{2})^2 = D^2(1-\sqrt{3})^2 = D^2(4-2\sqrt{3}) < D^2$.$|A_1A_5|^2 = (\frac{D\sqrt{3}}{2} - \frac{D}{2})^2 + (\frac{D}{2} - \frac{D\sqrt{3}}{2})^2 = 2(\frac{D}{2}(\sqrt{3}-1))^2 = \frac{D^2}{2}(4-2\sqrt{3}) = D^2(2-\sqrt{3}) < D^2$.$|A_4A_5|^2 = |A_1A_5|^2 < D^2$.

Все вершины образуют выпуклый пятиугольник, и максимальное расстояние между любыми двумя вершинами равно $D$. При этом три стороны ($A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$) имеют длину $D$. Следовательно, значение 3 достижимо.

Ответ: 3.