Номер 1.29, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.29. Градусная мера каждого из углов выпуклого девятнадцатиугольника кратна $10^\circ$. Докажите, что в этом девятнадцатиугольнике есть пара параллельных сторон.

1.29. Градусная мера каждого из углов выпуклого девятнадцатиугольника кратна $10^\circ$. Докажите, что в этом девятнадцатиугольнике есть пара параллельных сторон.

Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{19}$ — внутренние углы выпуклого девятнадцатиугольника. По условию задачи, градусная мера каждого из этих углов кратна $10^\circ$. Это означает, что для каждого $i$ от 1 до 19 существует целое число $k_i$ такое, что $\alpha_i = 10k_i$.

Рассмотрим внешние углы многоугольника, которые связаны с внутренними углами соотношением $\beta_i = 180^\circ - \alpha_i$. Подставив выражение для $\alpha_i$, получим:

$\beta_i = 180^\circ - 10k_i = 10(18 - k_i)$

Это показывает, что каждый внешний угол $\beta_i$ также кратен $10^\circ$. Так как многоугольник выпуклый, его внутренние углы удовлетворяют условию $0 < \alpha_i < 180^\circ$, следовательно, для внешних углов также верно $0 < \beta_i < 180^\circ$.

Обозначим $\beta_i = 10m_i$, где $m_i = 18 - k_i$ — целые положительные числа. Из $0 < \beta_i < 180^\circ$ следует, что $1 \le m_i \le 17$.

Известно, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Таким образом:

$\sum_{i=1}^{19} \beta_i = 360^\circ$

Подставим сюда $\beta_i = 10m_i$:

$\sum_{i=1}^{19} 10m_i = 360^\circ$

Разделив обе части уравнения на 10, получим сумму целых чисел $m_i$:

$\sum_{i=1}^{19} m_i = 36$

Две стороны многоугольника параллельны, если угол между их направлениями кратен $180^\circ$. Угол между направлениями сторон $s_j$ и $s_k$ (при $j<k$) равен сумме последовательных внешних углов от вершины $j+1$ до вершины $k$, то есть $\sum_{i=j+1}^{k} \beta_i$.

Таким образом, для доказательства наличия параллельных сторон нам нужно показать, что существует такая сумма последовательных внешних углов, которая кратна $180^\circ$:

$\sum_{i=j+1}^{k} \beta_i = 180^\circ \cdot q$ для некоторого целого $q$.

Подставляя $\beta_i = 10m_i$, получаем:

$10 \sum_{i=j+1}^{k} m_i = 180^\circ \cdot q$

$\sum_{i=j+1}^{k} m_i = 18q$

Это означает, что нам нужно доказать существование суммы нескольких последовательных членов последовательности $m_1, m_2, \dots, m_{19}$, которая кратна 18.

Рассмотрим частичные суммы $P_k = \sum_{i=1}^{k} m_i$ для $k=1, 2, \dots, 19$. Также определим $P_0 = 0$. Тогда искомая сумма последовательных членов может быть записана как разность двух частичных сумм: $\sum_{i=j+1}^{k} m_i = P_k - P_j$. Условие кратности 18 равносильно $P_k \equiv P_j \pmod{18}$.

Рассмотрим 19 частичных сумм: $P_0, P_1, P_2, \dots, P_{18}$. Всего их 19. При делении на 18 существует 18 возможных остатков: $0, 1, 2, \dots, 17$.

Согласно принципу Дирихле, если 19 чисел (наши частичные суммы) принимают одно из 18 возможных значений (остатки от деления на 18), то по крайней мере два из этих чисел должны иметь одинаковое значение. То есть, существуют индексы $j$ и $k$ такие, что $0 \le j < k \le 18$ и $P_k \equiv P_j \pmod{18}$.

Тогда их разность $P_k - P_j = \sum_{i=j+1}^{k} m_i$ кратна 18. Следовательно, соответствующая сумма внешних углов $\sum_{i=j+1}^{k} \beta_i = 10(P_k - P_j)$ кратна $10 \cdot 18 = 180^\circ$.

Это означает, что угол между сторонами, идущими после вершин $j$ и $k$, кратен $180^\circ$, то есть эти стороны параллельны. Так как $j < k$, это две различные стороны многоугольника. Таким образом, доказано, что в девятнадцатиугольнике есть пара параллельных сторон.

Что и требовалось доказать.