Номер 1.22, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.22. Можно ли выпуклый семнадцатиугольник разрезать на 14 треугольников?

1.22. Можно ли выпуклый семнадцатиугольник разрезать на 14 треугольников?

Для решения этой задачи воспользуемся методом подсчета сумм углов.

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле:$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

В нашем случае имеем семнадцатиугольник, то есть $n=17$. Найдем сумму его внутренних углов:$S_{17} = (17-2) \cdot 180^\circ = 15 \cdot 180^\circ$

Сумма внутренних углов одного треугольника составляет $180^\circ$. Если бы можно было разрезать семнадцатиугольник на 14 треугольников, то общая сумма углов всех этих треугольников была бы равна:$S_{14T} = 14 \cdot 180^\circ$

Сумма углов всех треугольников, на которые разбит многоугольник, складывается из суммы углов самого многоугольника и суммы углов вокруг новых вершин, которые могли появиться внутри многоугольника в процессе разрезания. Сумма углов вокруг любой точки внутри многоугольника равна $360^\circ$.

Пусть при разрезании внутри семнадцатиугольника образовалось $k$ новых вершин, а на его сторонах — $m$ новых вершин. Тогда общая сумма углов 14 треугольников должна быть равна сумме углов семнадцатиугольника плюс сумма углов вокруг этих новых вершин:$S_{14T} = S_{17} + k \cdot 360^\circ + m \cdot 180^\circ$

Подставим числовые значения:$14 \cdot 180^\circ = 15 \cdot 180^\circ + k \cdot (2 \cdot 180^\circ) + m \cdot 180^\circ$

Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:$14 = 15 + 2k + m$

Из этого уравнения выразим сумму $2k+m$:$2k + m = 14 - 15 = -1$

Числа $k$ и $m$ обозначают количество новых вершин, поэтому они не могут быть отрицательными ($k \ge 0$ и $m \ge 0$). Следовательно, их сумма $2k + m$ также не может быть отрицательной. Мы получили противоречие, так как $-1 < 0$.

Это означает, что наше первоначальное предположение о возможности разрезания было неверным.

Ответ: Нет, нельзя.