Номер 1.19, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.19. Постройте четырёхугольник по трём сторонам и двум диагоналям.

1.19. Постройте четырёхугольник по трём сторонам и двум диагоналям.

Задача состоит в построении четырехугольника по трем его сторонам и двум диагоналям с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим один из возможных случаев, когда заданы три последовательные стороны.

Пять отрезков, задающих длины:

• трех последовательных сторон четырехугольника $ABCD$: $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$;
• двух диагоналей: $AC = d_1$, $BD = d_2$.

Для построения четырехугольника $ABCD$ необходимо определить положение его четырех вершин $A, B, C, D$ на плоскости.Искомый четырехугольник можно рассматривать как объединение двух треугольников. Например, диагональ $AC$ разбивает его на $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.Для построения $\triangle ABC$ нам известны длины всех трех его сторон: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = d_1$. Треугольник по трем сторонам строится однозначно (с точностью до симметрии относительно одной из сторон).После построения $\triangle ABC$ положение вершин $A, B, C$ будет зафиксировано.Чтобы найти четвертую вершину $D$, воспользуемся известными расстояниями до нее от уже построенных вершин. Мы знаем длину стороны $CD = c$ и длину диагонали $BD = d_2$.Это означает, что точка $D$ является точкой пересечения двух окружностей:

1. окружности с центром в точке $C$ и радиусом $c$;
2. окружности с центром в точке $B$ и радиусом $d_2$.

Таким образом, план построения сводится к последовательному построению треугольника $ABC$, а затем нахождению вершины $D$.

1. На прямой откладываем отрезок $AB$ длиной $a$.
2. Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $d_1$ (длина диагонали $AC$).
3. Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом $b$ (длина стороны $BC$).
4. Точка пересечения этих дуг является вершиной $C$. Соединяем точки, получаем $\triangle ABC$.
5. Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом $d_2$ (длина диагонали $BD$).
6. Из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $c$ (длина стороны $CD$).
7. Точка пересечения двух последних дуг является вершиной $D$.
8. Соединяем последовательно вершины $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ построен.

Построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым, так как по построению его стороны и диагонали имеют заданные длины: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Задача имеет решение, если все шаги построения выполнимы.

1. Построение $\triangle ABC$ возможно, если для отрезков $a, b, d_1$ выполняются неравенства треугольника:

   $a + b > d_1$

   $a + d_1 > b$

   $b + d_1 > a$

2. Нахождение вершины $D$ возможно, если окружности из шагов 5 и 6 пересекаются. Это эквивалентно выполнению неравенств треугольника для $\triangle BCD$ со сторонами $b, c, d_2$:

   $b + c > d_2$

   $b + d_2 > c$

   $c + d_2 > b$

Если оба набора неравенств выполнены, задача имеет решение.При этом решение не всегда единственно. На шаге 4 возможны два положения для точки $C$ (симметрично относительно $AB$), что приводит к построению конгруэнтных четырехугольников. На шаге 7 также возможны два положения для точки $D$ (симметрично относительно $BC$), что может привести к двум различным (неконгруэнтным) четырехугольникам. Таким образом, задача может иметь до двух неконгруэнтных решений.Аналогичный алгоритм применим и для других конфигураций заданных сторон (например, $AB, BC, DA$).

Ответ: Четырехугольник строится путем последовательного построения треугольника по двум сторонам и диагонали ($ \triangle ABC $ по сторонам $AB$, $BC$ и диагонали $AC$), а затем нахождения четвертой вершины ($D$) как точки пересечения двух окружностей, центры которых находятся в уже построенных вершинах ($B$ и $C$), а радиусы равны известным отрезкам (диагонали $BD$ и стороне $CD$).