Номер 1.14, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.14. Три угла выпуклого многоугольника равны по $100^\circ$, а остальные — по $120^\circ$. Определите количество сторон многоугольника.

1.14. Три угла выпуклого многоугольника равны по $100^\circ$, а остальные — по $120^\circ$. Определите количество сторон многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон выпуклого многоугольника. Количество углов многоугольника также равно $n$.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле:$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$

По условию задачи, три угла многоугольника равны по $100^\circ$, а остальные $(n-3)$ углов равны по $120^\circ$.Следовательно, сумму всех углов многоугольника можно выразить как:$S_n = 3 \cdot 100^\circ + (n - 3) \cdot 120^\circ$

Теперь приравняем два выражения для суммы углов и решим полученное уравнение относительно $n$:$(n - 2) \cdot 180 = 3 \cdot 100 + (n - 3) \cdot 120$

Раскроем скобки:$180n - 360 = 300 + 120n - 360$

Упростим правую часть:$180n - 360 = 120n - 60$

Перенесем члены с переменной $n$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:$180n - 120n = 360 - 60$$60n = 300$

Найдем $n$:$n = \frac{300}{60}$$n = 5$

Таким образом, многоугольник имеет 5 сторон. Это пятиугольник.

Проверим: сумма углов пятиугольника равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.Согласно условию, у нас есть три угла по $100^\circ$ и $5-3=2$ угла по $120^\circ$. Их сумма: $3 \cdot 100^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 300^\circ + 240^\circ = 540^\circ$.Результаты совпадают, следовательно, решение верно.

Ответ: 5.