Номер 1.18, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.18. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одному из углов.

1.18. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одному из углов.

Для построения четырёхугольника по четырём его сторонам и одному из углов необходимо выполнить следующую последовательность действий. Пусть нам даны четыре стороны $a, b, c, d$ и угол $\alpha$. Предположим, что строится четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$ и углом $\angle A = \alpha$, прилежащим к сторонам $a$ и $d$.

Построение

1. На плоскости выбираем произвольную точку $A$ и проводим из неё луч.

2. Строим второй луч из точки $A$ под углом $\alpha$ к первому. Для этого используется стандартная процедура копирования угла с помощью циркуля и линейки.

3. На одном из лучей откладываем отрезок $AD$, равный стороне $d$.

4. На другом луче откладываем отрезок $AB$, равный стороне $a$. Таким образом, построены три вершины четырехугольника: $A$, $B$ и $D$.

5. Чтобы найти четвертую вершину $C$, воспользуемся тем, что она удалена от точки $B$ на расстояние $b$ и от точки $D$ на расстояние $c$. Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$.

6. Проводим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $c$.

7. Точка пересечения этих двух дуг является искомой вершиной $C$. Соединяем точки $B$ и $C$, а также $C$ и $D$.

В результате получаем искомый четырёхугольник $ABCD$.

Анализ решения

Число возможных решений задачи зависит от взаимного расположения окружностей, построенных на шагах 5 и 6. Это расположение, в свою очередь, зависит от соотношения между длинами сторон $b, c$ и расстоянием между точками $B$ и $D$. Расстояние $BD$ можно найти из треугольника $ABD$ по теореме косинусов: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)} = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\alpha)}$.

Возможны три случая:

Случай 1: Нет решений. Если окружности не пересекаются. Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы радиусов ($BD > b + c$) или меньше их разности ($BD < |b - c|$).

Случай 2: Одно решение. Если окружности касаются в одной точке. Это происходит, когда $BD = b + c$ или $BD = |b - c|$. В этом случае вершина $C$ лежит на прямой $BD$.

Случай 3: Два решения. Если окружности пересекаются в двух точках. Это происходит, когда $|b - c| < BD < b + c$. В этом случае получаются два различных четырёхугольника ($ABC_1D$ и $ABC_2D$), симметричных относительно диагонали $BD$.

Таким образом, в зависимости от заданных длин сторон и угла, задача может не иметь решений, иметь одно или два решения.

Ответ: Построение выполняется путем последовательного построения угла и прилежащих к нему сторон (получая вершины $A, B, D$), а затем нахождения четвертой вершины ($C$) как точки пересечения двух окружностей с центрами в точках $B$ и $D$ и радиусами, равными длинам оставшихся сторон ($b$ и $c$). Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения длин сторон.