Номер 1.21, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.21. Сумма углов выпуклого n-угольника и одного из его внешних углов равна 990°. Найдите $n$.

1.21. Сумма углов выпуклого $n$-угольника и одного из его внешних углов равна $990^\circ$. Найдите $n$.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = 180° \cdot (n-2)$, где $n$ — число сторон многоугольника.

Пусть $\beta$ — это один из внешних углов этого $n$-угольника. По условию задачи, сумма всех внутренних углов и этого внешнего угла равна $990°$. Запишем это в виде уравнения:

$S_n + \beta = 990°$

Подставим в уравнение формулу для суммы углов:

$180° \cdot (n-2) + \beta = 990°$

Внешний угол выпуклого многоугольника всегда больше $0°$ и меньше $180°$. То есть, справедливо неравенство $0° < \beta < 180°$.

Из уравнения выразим произведение $180° \cdot (n-2)$:

$180° \cdot (n-2) = 990° - \beta$

Используя неравенство для $\beta$, мы можем найти диапазон возможных значений для суммы внутренних углов:

$990° - 180° < 990° - \beta < 990° - 0°$

$810° < 990° - \beta < 990°$

Следовательно, получаем двойное неравенство для $n$:

$810° < 180° \cdot (n-2) < 990°$

Разделим все части этого неравенства на $180°$:

$\frac{810}{180} < n-2 < \frac{990}{180}$

$4.5 < n-2 < 5.5$

Теперь прибавим $2$ ко всем частям неравенства, чтобы найти $n$:

$4.5 + 2 < n < 5.5 + 2$

$6.5 < n < 7.5$

Поскольку $n$ (количество сторон многоугольника) должно быть целым числом, единственное целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, это $7$.

Ответ: 7