Номер 1.23, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.23. Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполняется неравенство $AC + BD > AB + CD$.

1.23. Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполняется неравенство $AC + BD > AB + CD$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$.

Рассмотрим два треугольника, образованных пересечением диагоналей: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Применим к каждому из них неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Для треугольника $AOB$ справедливо неравенство:
$AO + OB > AB$ (1)

Аналогично, для треугольника $COD$ справедливо неравенство:
$CO + OD > CD$ (2)

Сложим почленно неравенства (1) и (2):
$(AO + OB) + (CO + OD) > AB + CD$

Сгруппируем слагаемые в левой части полученного неравенства:
$(AO + CO) + (OB + OD) > AB + CD$

Поскольку для выпуклого четырехугольника точка пересечения диагоналей $O$ лежит на отрезках $AC$ и $BD$, выполняются равенства: $AO + CO = AC$ и $OB + OD = BD$. Подставим эти выражения в последнее неравенство:
$AC + BD > AB + CD$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.