Номер 1.17, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.17. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны.

1.17. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A, B, C, D$ как $∠A, ∠B, ∠C, ∠D$ соответственно. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $∠A$, а $l_C$ — биссектриса угла $∠C$. По условию, прямые $l_A$ и $l_C$ параллельны или лежат на одной прямой. Нам нужно доказать, что $∠B = ∠D$.

Рассмотрим случай, когда $l_A$ и $l_C$ параллельны. Проведём доказательство методом «погони за углами».

1. Продлим сторону $AB$ за вершину $B$ до пересечения с прямой $l_C$ в точке $E$. Так как $l_A$ является биссектрисой угла $∠A$, то угол между стороной $AB$ и биссектрисой $l_A$ равен $\frac{∠A}{2}$. Поскольку прямые $l_A$ и $l_C$ параллельны, а прямая $AE$ является для них секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, угол $∠AEC$ равен углу между прямой $AB$ и прямой $l_A$, то есть $∠AEC = \frac{∠A}{2}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $EBC$. Сумма его углов равна $180°$:$∠BEC + ∠EBC + ∠BCE = 180°$.Мы знаем, что $∠BEC = ∠AEC = \frac{∠A}{2}$ и $∠EBC = ∠B$.Прямая $l_C$ является биссектрисой угла $∠C$, поэтому угол $∠BCE$, который является углом между стороной $BC$ и биссектрисой $l_C$, равен $\frac{∠C}{2}$.Подставив эти значения в формулу суммы углов треугольника, получим:$\frac{∠A}{2} + ∠B + \frac{∠C}{2} = 180°$.Отсюда выразим $∠B$:$∠B = 180° - \frac{∠A + ∠C}{2}$.

3. Аналогичные рассуждения проведём для другой пары сторон. Продлим сторону $AD$ за вершину $D$ до пересечения с прямой $l_C$ в точке $F$. Угол между стороной $AD$ и биссектрисой $l_A$ равен $\frac{∠A}{2}$. Так как $l_A \parallel l_C$, а $AF$ — секущая, то $∠AFC = \frac{∠A}{2}$.

4. Рассмотрим треугольник $FDC$. Сумма его углов равна $180°$:$∠DFC + ∠FDC + ∠DCF = 180°$.Мы знаем, что $∠DFC = ∠AFC = \frac{∠A}{2}$ и $∠FDC = ∠D$.Прямая $l_C$ является биссектрисой угла $∠C$, поэтому угол $∠DCF$ между стороной $DC$ и биссектрисой $l_C$ равен $\frac{∠C}{2}$.Подставим значения в формулу суммы углов:$\frac{∠A}{2} + ∠D + \frac{∠C}{2} = 180°$.Отсюда выразим $∠D$:$∠D = 180° - \frac{∠A + ∠C}{2}$.

5. Сравнивая полученные выражения для $∠B$ и $∠D$, мы видим, что они равны:$∠B = ∠D = 180° - \frac{∠A + ∠C}{2}$.

Случай, когда биссектрисы лежат на одной прямой, является частным случаем параллельности. В этой ситуации прямая $l_A$ совпадает с $l_C$, а значит, проходит через вершины $A$ и $C$, то есть является диагональю $AC$. Тогда диагональ $AC$ является биссектрисой углов $∠A$ и $∠C$.Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.В $\triangle ABC$ сумма углов: $∠BAC + ∠B + ∠BCA = 180°$. Так как $AC$ — биссектриса, $∠BAC = \frac{∠A}{2}$ и $∠BCA = \frac{∠C}{2}$.Следовательно, $\frac{∠A}{2} + ∠B + \frac{∠C}{2} = 180°$.В $\triangle ADC$ сумма углов: $∠DAC + ∠D + ∠DCA = 180°$. Так как $AC$ — биссектриса, $∠DAC = \frac{∠A}{2}$ и $∠DCA = \frac{∠C}{2}$.Следовательно, $\frac{∠A}{2} + ∠D + \frac{∠C}{2} = 180°$.Из этих двух равенств очевидно следует, что $∠B = ∠D$.

Таким образом, утверждение доказано для обоих случаев.

Ответ: Утверждение доказано. Если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то сумма половины этих углов и каждого из двух других углов составляет $180°$, из чего следует равенство двух других углов.