Номер 1.10, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.10. В треугольнике $ABC \angle A = 44^{\circ}, \angle B = 56^{\circ}$. Биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника пересекаются в точке $O$. Найдите углы четырёх-угольника:

1) $МОКС$

2) $AOBC$

1.10. В треугольнике ABC $\angle A = 44^\circ$, $\angle B = 56^\circ$. Биссектрисы AK и BM треугольника пересекаются в точке O. Найдите углы четырёхугольника:

1) MOKC;

2) AOBC.

Сначала найдём все необходимые углы в треугольнике ABC и связанных с ним элементах.

1. Найдём угол C треугольника ABC. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 44^\circ - 56^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $.

2. AK и BM – биссектрисы углов A и B соответственно. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$ \angle OAB = \angle KAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{44^\circ}{2} = 22^\circ $.
$ \angle OBA = \angle MBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ $.

3. Биссектрисы AK и BM пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник AOB. Сумма его углов равна $180^\circ$.
$ \angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 22^\circ - 28^\circ = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $.

Теперь мы можем найти углы заданных четырёхугольников.

Рассмотрим четырёхугольник MOKC. Его углы: $ \angle MOK, \angle OKC, \angle KCM, \angle CMO $. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.

• Угол $ \angle KCM $ является углом $ \angle C $ треугольника ABC, следовательно, $ \angle KCM = 80^\circ $.

• Угол $ \angle MOK $ является вертикальным углу $ \angle AOB $, поэтому они равны: $ \angle MOK = \angle AOB = 130^\circ $.

• Чтобы найти угол $ \angle OKC $, рассмотрим треугольник AKC. Сумма углов в нём равна $180^\circ$.
$ \angle AKC = 180^\circ - \angle KAC - \angle ACK = 180^\circ - 22^\circ - 80^\circ = 78^\circ $.
Следовательно, $ \angle OKC = 78^\circ $.

• Чтобы найти угол $ \angle CMO $, рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов в нём равна $180^\circ$.
$ \angle BMC = 180^\circ - \angle MBC - \angle BCM = 180^\circ - 28^\circ - 80^\circ = 72^\circ $.
Следовательно, $ \angle CMO = 72^\circ $.

Проверка: сумма углов четырёхугольника MOKC равна $130^\circ + 78^\circ + 80^\circ + 72^\circ = 360^\circ$.
Ответ: Углы четырёхугольника MOKC: $ \angle KCM = 80^\circ $, $ \angle CMO = 72^\circ $, $ \angle MOK = 130^\circ $, $ \angle OKC = 78^\circ $.

Четырёхугольник AOBC является вогнутым (невыпуклым), так как вершина O лежит внутри треугольника ABC. Сумма его внутренних углов также равна $360^\circ$. Найдём эти углы.

• Угол при вершине A: $ \angle CAO = \angle KAC = 22^\circ $.

• Угол при вершине B: $ \angle CBO = \angle MBC = 28^\circ $.

• Угол при вершине C: $ \angle BCA = \angle C = 80^\circ $.

• Угол при вершине O является внутренним вогнутым углом, который больше $180^\circ$. Он дополняет угол $ \angle AOB $ до полного угла в $360^\circ$.
Внутренний угол при вершине O = $360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ$.

Проверка: сумма углов четырёхугольника AOBC равна $22^\circ + 28^\circ + 80^\circ + 230^\circ = 360^\circ$.
Ответ: Углы четырёхугольника AOBC: $ \angle CAO = 22^\circ $, $ \angle OBC = 28^\circ $, $ \angle BCA = 80^\circ $, и внутренний угол при вершине O равен $230^\circ$.