Номер 1.11, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.11. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 72^\circ$. Высоты $AE$ и $BF$ треугольника пересекаются в точке $H$. Найдите углы четырёхугольника:

1) $CFHE$;

2) $ACBH$.

1.11. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 72^\circ$. Высоты $AE$ и $BF$ треугольника пересекаются в точке $H$. Найдите углы четырёхугольника:

1) $CFHE$;

2) $ACBH$.

Сначала найдём третий угол треугольника ABC. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ$.

Так как $\angle B = \angle C = 72^\circ$, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC ($AB=AC$).

Точка H — ортоцентр треугольника (точка пересечения высот).

1) CFHE

Рассмотрим четырёхугольник CFHE. Найдём его углы:

• $\angle FCE$: Этот угол совпадает с углом $\angle C$ треугольника ABC. Таким образом, $\angle FCE = 72^\circ$.
• $\angle CFH$: BF — высота, проведённая к стороне AC, следовательно, $BF \perp AC$. Угол $\angle BFC = 90^\circ$. Поскольку точка H лежит на отрезке BF, то $\angle CFH = \angle BFC = 90^\circ$.
• $\angle HEC$: AE — высота, проведённая к стороне BC, следовательно, $AE \perp BC$. Угол $\angle AEC = 90^\circ$. Поскольку точка H лежит на отрезке AE, то $\angle HEC = \angle AEC = 90^\circ$.
• $\angle FHE$: Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. Следовательно:
  $\angle FHE = 360^\circ - \angle FCE - \angle CFH - \angle HEC = 360^\circ - 72^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 108^\circ$.

Можно также найти угол $\angle FHE$ как вертикальный к углу $\angle AHB$. В треугольнике ABH углы $\angle HAB$ и $\angle HBA$ можно найти из прямоугольных треугольников AEB и AFB:

Из $\triangle AEB$: $\angle BAE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$. Значит, $\angle HAB = 18^\circ$.

Из $\triangle AFB$: $\angle ABF = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. Значит, $\angle HBA = 54^\circ$.

Тогда в $\triangle AHB$: $\angle AHB = 180^\circ - (\angle HAB + \angle HBA) = 180^\circ - (18^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Поскольку $\angle FHE$ и $\angle AHB$ вертикальные, $\angle FHE = \angle AHB = 108^\circ$.

Ответ: Углы четырёхугольника CFHE равны $72^\circ, 90^\circ, 108^\circ, 90^\circ$.

2) ACBH

Четырёхугольник ACBH является самопересекающимся (скрещенным). Его углами будем считать углы при вершинах, образованные соответствующими сторонами при обходе A → C → B → H → A.

• Угол при вершине A: $\angle HAC$. Это угол между сторонами HA и AC. Найдём его из прямоугольного треугольника AEC:
  $\angle EAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$.
  Так как H лежит на AE, $\angle HAC = \angle EAC = 18^\circ$.
• Угол при вершине C: $\angle ACB$. Это угол между сторонами AC и CB. Он совпадает с углом C треугольника:
  $\angle ACB = 72^\circ$.
• Угол при вершине B: $\angle CBH$. Это угол между сторонами CB и BH. Найдём его из прямоугольного треугольника BFC:
  $\angle FBC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$.
  Так как H лежит на BF, $\angle CBH = \angle FBC = 18^\circ$.
• Угол при вершине H: $\angle BHA$. Это угол между сторонами BH и HA. Мы уже вычислили этот угол в предыдущем пункте:
  $\angle BHA = 108^\circ$.

Ответ: Углы четырёхугольника ACBH равны $18^\circ, 72^\circ, 18^\circ, 108^\circ$.