Номер 1.8, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.8. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, а диагональ $BD$ образует с этими сторонами равные углы. Докажите, что стороны $CD$ и $AD$ равны.

1.8. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, а диагональ $BD$ образует с этими сторонами равные углы. Докажите, что стороны $CD$ и $AD$ равны.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Диагональ $BD$ разделяет его на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника, используя данные из условия задачи:

1. Сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$) по условию.
2. Диагональ $BD$ образует с этими сторонами равные углы, следовательно, $\angle ABD = \angle CBD$ по условию.
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle CBD$) следует равенство их соответствующих элементов. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ABD$ является соответствующей стороне $CD$ в треугольнике $\triangle CBD$.

Следовательно, $AD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Стороны $CD$ и $AD$ равны, так как они являются соответствующими сторонами в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Равенство этих треугольников доказано по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).