Номер 1.3, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.3. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1800^\circ$;

2) $720^\circ$;

3) $1600^\circ$?

1.3. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1800^\circ$;

2) $720^\circ$;

3) $1600^\circ$?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника определяется по формуле: $S = (n-2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — это количество сторон многоугольника. Для того чтобы многоугольник существовал, число его сторон $n$ должно быть целым и не меньшим 3 ($n \in \mathbb{Z}, n \ge 3$).

Чтобы проверить, существует ли многоугольник с заданной суммой углов, нужно выразить $n$ из формулы и проверить, является ли оно целым числом, большим или равным 3.

$n-2 = \frac{S}{180^\circ}$

$n = \frac{S}{180^\circ} + 2$

Проверим каждое из заданных значений суммы углов.

1) 1800°

Подставим значение суммы углов $S = 1800^\circ$ в формулу для нахождения числа сторон $n$:

$n = \frac{1800^\circ}{180^\circ} + 2$

$n = 10 + 2$

$n = 12$

Так как $n=12$ — это целое число и $12 \ge 3$, то выпуклый многоугольник с такой суммой углов существует. Это двенадцатиугольник.

Ответ: да, существует.

2) 720°

Подставим значение суммы углов $S = 720^\circ$ в формулу:

$n = \frac{720^\circ}{180^\circ} + 2$

$n = 4 + 2$

$n = 6$

Так как $n=6$ — это целое число и $6 \ge 3$, то выпуклый многоугольник с такой суммой углов существует. Это шестиугольник.

Ответ: да, существует.

3) 1600°

Подставим значение суммы углов $S = 1600^\circ$ в формулу:

$n = \frac{1600^\circ}{180^\circ} + 2$

$n = \frac{160}{18} + 2 = \frac{80}{9} + 2$

$n = 8\frac{8}{9} + 2 = 10\frac{8}{9}$

Так как $n = 10\frac{8}{9}$ не является целым числом, то выпуклый многоугольник с такой суммой углов не существует.

Ответ: нет, не существует.