Номер 1.6, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.6. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

1.6. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Найдите углы четырёхугольника

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника составляет $360^\circ$. По условию задачи, углы четырёхугольника пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда величины углов можно записать как $2x$, $3x$, $10x$ и $21x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов равна $360^\circ$:

$2x + 3x + 10x + 21x = 360$

Сложим коэффициенты при $x$:

$36x = 360$

Теперь найдём значение $x$:

$x = \frac{360}{36} = 10$

Зная коэффициент пропорциональности, вычислим каждый угол:

• Первый угол: $2x = 2 \cdot 10 = 20^\circ$
• Второй угол: $3x = 3 \cdot 10 = 30^\circ$
• Третий угол: $10x = 10 \cdot 10 = 100^\circ$
• Четвёртый угол: $21x = 21 \cdot 10 = 210^\circ$

Проверка: $20^\circ + 30^\circ + 100^\circ + 210^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырёхугольника равны $20^\circ$, $30^\circ$, $100^\circ$ и $210^\circ$.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Четырёхугольник называется выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. В нашем случае один из углов равен $210^\circ$, что больше $180^\circ$.

Поскольку четырёхугольник имеет угол, больший $180^\circ$, он не является выпуклым. Такой четырёхугольник называется вогнутым (или невыпуклым).

Ответ: нет, этот четырёхугольник не является выпуклым.