Номер 1.5, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.5. Один из углов четырёхугольника в 2 раза меньше второго угла, на $20^{\circ}$ меньше третьего и на $40^{\circ}$ больше четвёртого. Найдите углы четырёхугольника.

1.5. Один из углов четырёхугольника в 2 раза меньше второго угла, на $20^\circ$ меньше третьего и на $40^\circ$ больше четвёртого. Найдите углы четырёхугольника.

Обозначим величину первого угла через $x$. Тогда, исходя из условий задачи, выразим остальные углы четырехугольника через $x$:

• Первый угол в 2 раза меньше второго, значит, второй угол в 2 раза больше первого. Его величина составляет $2x$.
• Первый угол на $20°$ меньше третьего, значит, третий угол на $20°$ больше первого. Его величина составляет $x + 20°$.
• Первый угол на $40°$ больше четвертого, значит, четвертый угол на $40°$ меньше первого. Его величина составляет $x - 40°$.

Сумма углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360°$. Составим уравнение, сложив все четыре угла:

$x + 2x + (x + 20°) + (x - 40°) = 360°$

Теперь решим это уравнение. Сначала приведем подобные слагаемые:

$(x + 2x + x + x) + (20° - 40°) = 360°$

$5x - 20° = 360°$

Перенесем $-20°$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5x = 360° + 20°$

$5x = 380°$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{380°}{5}$

$x = 76°$

Мы нашли величину первого угла. Теперь вычислим остальные углы:

• Первый угол: $x = 76°$
• Второй угол: $2x = 2 \cdot 76° = 152°$
• Третий угол: $x + 20° = 76° + 20° = 96°$
• Четвертый угол: $x - 40° = 76° - 40° = 36°$

Проверим, что сумма найденных углов равна $360°$:

$76° + 152° + 96° + 36° = 228° + 132° = 360°$

Сумма верна, значит, углы найдены правильно.

Ответ: углы четырехугольника равны $76°, 152°, 96°, 36°$.