Номер 1.12, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.12. Найдите диагональ четырёхугольника, если его периметр равен 80 см, а периметры треугольников, на которые эта диагональ разбивает данный четырёхугольник, равны 36 см и 64 см.

1.12. Найдите диагональ четырёхугольника, если его периметр равен 80 см, а периметры треугольников, на которые эта диагональ разбивает данный четырёхугольник, равны 36 см и 64 см.

Обозначим стороны четырёхугольника как $a, b, c, d$, а длину искомой диагонали как $d_{diag}$.

Периметр четырёхугольника $P_{чет}$ — это сумма длин его сторон:

$P_{чет} = a + b + c + d = 80$ см.

Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника.

Периметр первого треугольника $P_1$ состоит из двух сторон четырёхугольника (например, $a$ и $b$) и диагонали $d_{diag}$:

$P_1 = a + b + d_{diag} = 36$ см.

Периметр второго треугольника $P_2$ состоит из двух других сторон четырёхугольника ($c$ и $d$) и той же диагонали $d_{diag}$:

$P_2 = c + d + d_{diag} = 64$ см.

Сумма периметров этих двух треугольников включает в себя все четыре стороны четырёхугольника и дважды длину диагонали (так как она является общей стороной для обоих треугольников).

$P_1 + P_2 = (a + b + d_{diag}) + (c + d + d_{diag})$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$P_1 + P_2 = (a + b + c + d) + 2 \cdot d_{diag}$

Выражение в скобках $(a + b + c + d)$ является периметром исходного четырёхугольника $P_{чет}$. Подставим известные значения в полученное уравнение:

$36 + 64 = P_{чет} + 2 \cdot d_{diag}$

$100 = 80 + 2 \cdot d_{diag}$

Теперь решим уравнение относительно $d_{diag}$:

$2 \cdot d_{diag} = 100 - 80$

$2 \cdot d_{diag} = 20$

$d_{diag} = \frac{20}{2}$

$d_{diag} = 10$ см.

Ответ: 10 см.