Номер 1.7, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.7. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

1.7. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Найдите углы четырехугольника

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда три угла четырехугольника равны $4x$, $5x$ и $7x$.

Четвертый угол, согласно условию, равен их полусумме:
$\frac{4x + 5x + 7x}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$

Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Составим и решим уравнение:
$4x + 5x + 7x + 8x = 360$
$24x = 360$
$x = \frac{360}{24}$
$x = 15$

Теперь найдем величины углов, подставив значение $x$:
Первый угол: $4 \cdot 15 = 60^\circ$
Второй угол: $5 \cdot 15 = 75^\circ$
Третий угол: $7 \cdot 15 = 105^\circ$
Четвертый угол: $8 \cdot 15 = 120^\circ$

Проверка: $60^\circ + 75^\circ + 105^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника равны $60^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$ и $120^\circ$.

Является ли этот четырехугольник выпуклым?

Выпуклым называется четырехугольник, у которого все внутренние углы меньше $180^\circ$.

Все найденные углы ($60^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$ и $120^\circ$) меньше $180^\circ$. Следовательно, четырехугольник является выпуклым.

Ответ: да, этот четырехугольник является выпуклым.