Номер 1.4, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.4. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен:

1) $150^\circ$;

2) $100^\circ$?

1.4. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен:

1) $150^\circ$;

2) $100^\circ$?

Чтобы определить, существует ли выпуклый многоугольник, все углы которого равны, можно использовать формулу для величины внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Здесь $n$ — это количество сторон (и углов) многоугольника. Для существования такого многоугольника необходимо, чтобы $n$ было целым числом, большим или равным 3.

Более простой способ — использовать внешний угол. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Внешний угол $\beta$ связан с внутренним углом $\alpha$ соотношением $\beta = 180^\circ - \alpha$. Для многоугольника с равными углами все внешние углы также равны, и их величину можно найти по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$. Из этой формулы можно выразить количество сторон: $n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

1) 150°

Найдем величину внешнего угла $\beta$, соответствующего внутреннему углу $\alpha = 150^\circ$:

$\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Теперь вычислим количество сторон $n$, которое должен иметь такой многоугольник:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$

Поскольку мы получили целое число $n=12$ (и $12 \ge 3$), такой многоугольник существует. Это правильный двенадцатиугольник.

Ответ: да, существует.

2) 100°

Найдем величину внешнего угла $\beta$ для внутреннего угла $\alpha = 100^\circ$:

$\beta = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

Теперь вычислим количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{80^\circ} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым числом. Так как мы получили дробное число $n=4.5$, многоугольника, каждый угол которого равен $100^\circ$, не существует.

Ответ: нет, не существует.