Номер 1.16, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.16. В четырёхугольнике $ABCD$ $\angle A = \angle C = 90^\circ$. Докажите, что биссектрисы двух других углов четырёхугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

1.16. В четырёхугольнике $ABCD$ $\angle A = \angle C = 90^\circ$. Докажите, что биссектрисы двух других углов четырёхугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Доказательство:

Сумма внутренних углов четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$. По условию задачи дано, что $\angle A = \angle C = 90^\circ$. Сумма противоположных углов $\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Свойство вписанного четырехугольника гласит, что если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является вписанным.

Кроме того, так как вписанные углы $\angle A$ и $\angle C$ являются прямыми, они должны опираться на диаметр окружности. Это означает, что диагональ $BD$ является диаметром описанной окружности четырехугольника $ABCD$.

Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$ также равна $180^\circ$, так как $\angle B + \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle C) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Пусть $b_B$ — биссектриса угла $\angle B$, а $b_D$ — биссектриса угла $\angle D$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Общий случай

Пусть биссектриса $b_B$ угла $\angle B$ пересекает описанную окружность в точке $K$, а биссектриса $b_D$ угла $\angle D$ пересекает ее в точке $M$.

Согласно свойству биссектрисы вписанного угла, она делит дугу, на которую не опирается угол, пополам.

• Биссектриса $BK$ угла $\angle ABC$ делит дугу $ADC$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой дуги $AC$, не содержащей вершину $B$. Таким образом, дуга $AK$ равна дуге $CK$ ($\smile AK = \smile CK$).
• Аналогично, биссектриса $DM$ угла $\angle ADC$ делит дугу $ABC$ пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой дуги $AC$, не содержащей вершину $D$. Таким образом, дуга $AM$ равна дуге $CM$ ($\smile AM = \smile CM$).

Точки $K$ и $M$ являются серединами двух дуг, на которые окружность делится хордой $AC$. Прямая, проходящая через середины дуг, стягиваемых одной хордой, является серединным перпендикуляром к этой хорде. Следовательно, прямая $KM$ перпендикулярна хорде $AC$ и проходит через центр окружности. Таким образом, отрезок $KM$ является диаметром окружности.

Теперь рассмотрим четырехугольник $BKDM$, все вершины которого лежат на окружности. Его диагонали $BD$ и $KM$ являются диаметрами этой окружности. Четырехугольник, вписанный в окружность, диагонали которого являются ее диаметрами, является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $BK$ параллельна стороне $DM$. Это означает, что прямые, содержащие биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle D$, параллельны.

2. Частный случай, когда биссектрисы лежат на одной прямой

Рассмотрим условие, при котором прямые $BK$ и $DM$ совпадают. Поскольку точки $B, K, D, M$ лежат на окружности, их коллинеарность возможна только в том случае, если все они лежат на одном диаметре. Это означает, что точки $K$ и $M$ должны совпадать с точками $B$ и $D$.

Пусть $K$ совпадает с $D$, а $M$ совпадает с $B$.

• Если $K=D$, то точка $D$ является серединой дуги $ADC$. Равенство дуг $AD$ и $CD$ влечет за собой равенство стягивающих их хорд: $AD = CD$.
• Если $M=B$, то точка $B$ является серединой дуги $ABC$. Равенство дуг $AB$ и $CB$ влечет за собой равенство стягивающих их хорд: $AB = CB$.

Четырехугольник, у которого смежные стороны попарно равны ($AB=CB$ и $AD=CD$), является дельтоидом. В дельтоиде диагональ, соединяющая вершины между равными сторонами (в данном случае $BD$), является его осью симметрии и биссектрисой углов при этих вершинах (углов $\angle B$ и $\angle D$).

Следовательно, в этом случае биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle D$ совпадают и лежат на одной прямой — прямой $BD$. Такой четырехугольник (дельтоид с двумя противоположными прямыми углами $A$ и $C$) существует, простейшим примером является квадрат.

Таким образом, доказано, что биссектрисы двух других углов четырехугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.