Номер 1.20, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.20. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одной из диагоналей.

1.20. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одной из диагоналей.

Пусть даны четыре отрезка $a, b, c, d$ и диагональ $e$. Требуется построить четырехугольник $ABCD$, у которого стороны равны $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$, а диагональ, соединяющая вершины $A$ и $C$, равна $AC = e$.

Анализ

Предположим, что искомый четырехугольник $ABCD$ построен. Диагональ $AC$ разделяет его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Треугольник $\triangle ABC$ определяется тремя его сторонами: $AB = a$, $BC = b$ и $AC = e$.

Треугольник $\triangle ADC$ также определяется тремя его сторонами: $AD = d$, $CD = c$ и $AC = e$.

Следовательно, задача построения четырехугольника сводится к построению двух треугольников по трем сторонам, имеющих одну общую сторону.

Построение

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $AC$, равный по длине данной диагонали $e$.
2. Строим треугольник $\triangle ABC$. Для этого:
   • Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$.
   • Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$.
   • Одну из точек пересечения этих дуг обозначаем буквой $B$.
   • Соединяем отрезками точки $A$ и $B$, а также $B$ и $C$.
3. Строим треугольник $\triangle ADC$ на другой стороне от диагонали $AC$. Для этого:
   • Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $d$.
   • Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине стороны $c$.
   • Точку пересечения этих дуг (в полуплоскости, не содержащей точку $B$) обозначаем буквой $D$.
   • Соединяем отрезками точки $A$ и $D$, а также $D$ и $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ стороны имеют заданные длины: $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$ (как радиусы окружностей, использованных при построении). Диагональ $AC = e$ также имеет заданную длину по построению. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для длин сторон этих треугольников выполнялось неравенство треугольника:

• Для $\triangle ABC$: $a + b > e, \quad a + e > b, \quad b + e > a$.
• Для $\triangle ADC$: $c + d > e, \quad c + e > d, \quad d + e > c$.

Если эти условия выполнены, то каждая пара дуг, используемых в построении, пересекается, и построение возможно. Задача имеет единственное решение с точностью до выбора полуплоскости для вершины $B$ (то есть с точностью до осевой симметрии относительно прямой, содержащей диагональ $AC$).

Ответ: Задача решается путем построения с помощью циркуля и линейки двух треугольников по трем сторонам ($\triangle ABC$ по сторонам $a, b, e$ и $\triangle ADC$ по сторонам $c, d, e$), которые имеют общую сторону (заданную диагональ $e$).