Номер 1.26, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.26. Серединные перпендикуляры сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$, принадлежащей стороне $AD$. Докажите, что если $\angle A = \angle D$, то диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны.

1.26. Серединные перпендикуляры сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$, принадлежащей стороне $AD$. Докажите, что если $\angle A = \angle D$, то диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны.

Поскольку точка K лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB, она равноудалена от вершин A и B. Следовательно, $KA = KB$. Аналогично, поскольку точка K лежит на серединном перпендикуляре к стороне CD, она равноудалена от вершин C и D. Следовательно, $KC = KD$.

Рассмотрим треугольник $\Delta AKB$. Так как $KA = KB$, он является равнобедренным с основанием AB. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle KAB = \angle KBA$. Поскольку точка K лежит на стороне AD, угол $\angle KAB$ совпадает с углом $\angle A$ четырехугольника ABCD. Таким образом, $\angle KBA = \angle A$.

Рассмотрим треугольник $\Delta DKC$. Так как $KD = KC$, он является равнобедренным с основанием CD. Углы при его основании равны: $\angle KDC = \angle KCD$. Угол $\angle KDC$ совпадает с углом $\angle D$ четырехугольника ABCD. Таким образом, $\angle KCD = \angle D$.

По условию задачи дано, что $\angle A = \angle D$.

Теперь рассмотрим треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta BDA$. Мы докажем их равенство по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

1. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

2. Углы $\angle A$ и $\angle D$ равны по условию: $\angle CDA = \angle DAB$.

3. Осталось доказать, что стороны $AB$ и $DC$ равны. Для этого опустим из точки K перпендикуляры $KM$ на сторону AB и $KN$ на сторону CD. Так как K лежит на серединных перпендикулярах, $M$ и $N$ являются серединами отрезков AB и CD соответственно. В прямоугольном треугольнике $\Delta AKM$: $AM = AK \cdot \cos(\angle A)$. Тогда $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot AK \cdot \cos(\angle A)$. В прямоугольном треугольнике $\Delta DKN$: $DN = DK \cdot \cos(\angle D)$. Тогда $DC = 2 \cdot DN = 2 \cdot DK \cdot \cos(\angle D)$. Так как $\angle A = \angle D$, для доказательства равенства $AB = DC$ необходимо доказать, что $AK = DK$.

Однако, более прямой путь — рассмотреть другие треугольники. Рассмотрим треугольники $\Delta AKC$ и $\Delta BKD$. Применим к ним теорему косинусов для нахождения квадратов длин диагоналей $AC$ и $BD$.

В $\Delta AKC$: $AC^2 = KA^2 + KC^2 - 2 \cdot KA \cdot KC \cdot \cos(\angle AKC)$.

В $\Delta BKD$: $BD^2 = KB^2 + KD^2 - 2 \cdot KB \cdot KD \cdot \cos(\angle BKD)$.

Используя ранее доказанные равенства $KA = KB$ и $KC = KD$, перепишем второе уравнение: $BD^2 = KA^2 + KC^2 - 2 \cdot KA \cdot KC \cdot \cos(\angle BKD)$.

Теперь сравним углы $\angle AKC$ и $\angle BKD$. Поскольку точка K лежит на стороне AD, точки A, K, D лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle AKD$ является развернутым и равен $180^\circ$. Для случая, когда вершины B и C лежат по одну сторону от прямой AD, углы $\angle AKB$ и $\angle BKD$ являются смежными, а также $\angle AKC$ и $\angle CKD$. Отсюда $\angle BKD = 180^\circ - \angle AKB$ и $\angle AKC = 180^\circ - \angle CKD$.

Найдем углы $\angle AKB$ и $\angle CKD$ из равнобедренных треугольников $\Delta AKB$ и $\Delta DKC$: $\angle AKB = 180^\circ - 2\angle A$. $\angle CKD = 180^\circ - 2\angle D$.

Так как по условию $\angle A = \angle D$, то $\angle AKB = \angle CKD$. Из этого следует, что и $\angle BKD = 180^\circ - \angle AKB$ и $\angle AKC = 180^\circ - \angle CKD$ также равны между собой: $\angle AKC = \angle BKD$.

Теперь мы видим, что правые части выражений для $AC^2$ и $BD^2$ полностью совпадают: $AC^2 = KA^2 + KC^2 - 2 \cdot KA \cdot KC \cdot \cos(\angle AKC)$ $BD^2 = KA^2 + KC^2 - 2 \cdot KA \cdot KC \cdot \cos(\angle AKC)$

Следовательно, $AC^2 = BD^2$, а так как длины отрезков положительны, то $AC = BD$. Диагонали четырехугольника равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.