Номер 1.31, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.31. Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

1.31. Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

Докажем это утверждение в два этапа. Сначала разобьем многоугольник на треугольники, а затем покажем, как каждый треугольник можно разрезать на равнобедренные.

Любой выпуклый $n$-угольник (при $n \ge 3$) можно разрезать на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Так как многоугольник выпуклый, все диагонали будут лежать внутри него. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что любой произвольный треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. В зависимости от его углов возможны три случая.

1. Если $\triangle ABC$ — остроугольный, то центр $O$ описанной около него окружности находится внутри треугольника. Соединив центр $O$ с вершинами $A, B, C$, мы получим три треугольника: $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OAC$. В каждом из этих треугольников две стороны являются радиусами описанной окружности, поэтому они равны. Например, $OA=OB=R$. Следовательно, все три треугольника являются равнобедренными.

2. Если $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, то центр $O$ описанной окружности является серединой гипотенузы $AB$. Медиана $CO$, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то есть $CO = AO = BO$. Эта медиана делит $\triangle ABC$ на два равнобедренных треугольника: $\triangle AOC$ (так как $AO=CO$) и $\triangle BOC$ (так как $BO=CO$).

3. Если $\triangle ABC$ — тупоугольный с тупым углом при вершине $A$, то углы при вершинах $B$ и $C$ будут острыми. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ на сторону $BC$. Основание высоты $H$ будет лежать на отрезке $BC$. Высота $AH$ делит тупоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Как мы уже показали, каждый из этих прямоугольных треугольников можно разрезать на два равнобедренных треугольника. Таким образом, тупоугольный треугольник можно разрезать на четыре равнобедренных треугольника.

Поскольку любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники, а любой выпуклый многоугольник можно разрезать на треугольники, то любой выпуклый многоугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любой выпуклый многоугольник можно разрезать на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из одной вершины. Каждый из полученных треугольников, в свою очередь, можно разрезать на равнобедренные. Остроугольный треугольник разрезается на 3 равнобедренных треугольника отрезками, соединяющими вершины с центром описанной окружности. Прямоугольный — на 2, медианой из вершины прямого угла. Тупоугольный — на 4, для этого он сначала делится высотой из вершины тупого угла на два прямоугольных треугольника.