Номер 1.28, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.28. Биссектрисы углов $A$ и $B$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $N$. Известно, что $MN \perp AB$. Докажите, что углы $A$ и $B$ равны.

1.28. Биссектрисы углов $A$ и $B$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $N$. Известно, что $MN \perp AB$. Докажите, что углы $A$ и $B$ равны.

Обозначим углы выпуклого четырехугольника $ABCD$ как $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. По условию, биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ пересекаются в точке $N$. Известно, что прямая $MN$ перпендикулярна прямой $AB$, то есть $MN \perp AB$. Требуется доказать, что $\angle A = \angle B$.

Доказательство можно разделить на два случая в зависимости от взаимного расположения прямых, содержащих стороны $AD$ и $BC$.

Случай 1: Прямые $AD$ и $BC$ не параллельны.

В этом случае прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в некоторой точке $K$. Рассмотрим треугольник $\triangle KAB$.

Точка $M$ является точкой пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle B$ четырехугольника $ABCD$. Эти углы являются также внутренними углами $\angle KAB$ и $\angle KBA$ треугольника $\triangle KAB$. Точка пересечения биссектрис двух углов треугольника лежит и на биссектрисе третьего угла. Следовательно, точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle AKB$.

Этот же факт можно показать, используя свойство биссектрисы как геометрического места точек, равноудаленных от сторон угла. Обозначим расстояние от точки $P$ до прямой $l$ как $d(P, l)$. Поскольку $M$ лежит на биссектрисе $\angle A$, то $d(M, AB) = d(M, AD)$. Поскольку $M$ лежит на биссектрисе $\angle B$, то $d(M, AB) = d(M, BC)$. Из этих равенств следует, что $d(M, AD) = d(M, BC)$. Это означает, что точка $M$ равноудалена от прямых $AD$ и $BC$, а значит, лежит на биссектрисе угла $\angle AKB$, образованного этими прямыми.

Теперь рассмотрим точку $N$. Поскольку $N$ лежит на биссектрисе $\angle C$, то $d(N, BC) = d(N, CD)$. Поскольку $N$ лежит на биссектрисе $\angle D$, то $d(N, CD) = d(N, AD)$. Отсюда следует, что $d(N, BC) = d(N, AD)$. Это означает, что точка $N$ также равноудалена от прямых $AD$ и $BC$ и, следовательно, тоже лежит на биссектрисе угла $\angle AKB$.

Так как обе точки $M$ и $N$ лежат на биссектрисе угла $\angle AKB$ (будем считать, что $M \neq N$, иначе задача теряет смысл), то прямая $MN$ совпадает с этой биссектрисой.

По условию задачи, $MN \perp AB$. Это означает, что биссектриса угла $\angle AKB$ в треугольнике $\triangle KAB$ перпендикулярна его стороне $AB$. В треугольнике биссектриса является и высотой только в том случае, если этот треугольник равнобедренный.

Следовательно, $\triangle KAB$ — равнобедренный с основанием $AB$, и его боковые стороны равны: $KA = KB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle KAB = \angle KBA$.

Так как $\angle KAB$ совпадает с $\angle A$ четырехугольника $ABCD$, а $\angle KBA$ совпадает с $\angle B$, мы приходим к выводу, что $\angle A = \angle B$.

Случай 2: Прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

В этом случае четырехугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$.

Как и в первом случае, из того, что $M$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $B$, следует $d(M, AD) = d(M, BC)$. Аналогично для точки $N$ следует $d(N, AD) = d(N, BC)$.

Поскольку прямые $AD$ и $BC$ параллельны, множество всех точек, равноудаленных от них, представляет собой прямую, параллельную $AD$ и $BC$ и проходящую посередине между ними.

Обе точки $M$ и $N$ принадлежат этой прямой. Следовательно, прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

По условию задачи $MN \perp AB$. Из этого и из $MN \parallel AD$ следует, что $AD \perp AB$. Угол между сторонами $AD$ и $AB$ — это $\angle A$, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.

Аналогично, из $MN \perp AB$ и $MN \parallel BC$ следует, что $BC \perp AB$. Угол между сторонами $BC$ и $AB$ — это $\angle B$, следовательно, $\angle B = 90^\circ$.

Таким образом, и в этом случае мы получаем, что $\angle A = \angle B$.

Так как в обоих возможных случаях мы пришли к выводу, что углы $A$ и $B$ равны, утверждение доказано.

Ответ: Углы $A$ и $B$ равны, что и требовалось доказать.