Номер 1.27, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.27. Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну (рис. 1.18). Найдите сумму углов при вершинах полученной «звезды».

Рис. 1.18

1.27. Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну (рис. 1.18). Найдите сумму углов при вершинах полученной «звезды».

Рис. 1.18

Для решения задачи найдем сумму углов при вершинах пятиконечной звезды, образованной диагоналями выпуклого пятиугольника.

1. Обозначения

Обозначим вершины выпуклого пятиугольника буквами A, B, C, D, E, двигаясь против часовой стрелки. Звезда образована диагоналями, соединяющими вершины через одну: AC, CE, EB, BD, DA.

Углы при вершинах звезды, сумму которых нам нужно найти, это:

• $\alpha_A = \angle CAD$
• $\alpha_B = \angle DBE$
• $\alpha_C = \angle ACE$
• $\alpha_D = \angle BDA$
• $\alpha_E = \angle CEB$

Пусть $S$ — искомая сумма углов: $S = \alpha_A + \alpha_B + \alpha_C + \alpha_D + \alpha_E$.

2. Построение и использование вспомогательного треугольника

Рассмотрим диагонали AC, BD и CE. Обозначим точки их пересечения:

• $R$ — точка пересечения AC и BD.
• $S$ — точка пересечения BD и CE.

Точки C, R, S образуют треугольник $\triangle CRS$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle SCR + \angle CRS + \angle CSR = 180^\circ$

3. Выражение углов вспомогательного треугольника через углы звезды

Теперь выразим каждый угол треугольника $\triangle CRS$ через углы звезды.

• Угол при вершине C ($\angle SCR$): Этот угол образован сторонами CR (часть диагонали AC) и CS (часть диагонали CE). Таким образом, этот угол является углом звезды при вершине C.
  $\angle SCR = \angle ACE = \alpha_C$
• Угол при вершине R ($\angle CRS$): Этот угол является внешним углом для треугольника $\triangle ARD$ (так как сторона AR продолжена до точки C). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  $\angle CRS = \angle RAD + \angle RDA$
  $\angle RAD$ — это угол $\angle CAD$, то есть $\alpha_A$.
  $\angle RDA$ — это угол $\angle BDA$, то есть $\alpha_D$.
  Следовательно, $\angle CRS = \alpha_A + \alpha_D$.
• Угол при вершине S ($\angle CSR$): Аналогично, этот угол является внешним углом для треугольника $\triangle BSE$ (так как сторона ES продолжена до точки C).
  $\angle CSR = \angle SBE + \angle SEB$
  $\angle SBE$ — это угол $\angle DBE$, то есть $\alpha_B$.
  $\angle SEB$ — это угол $\angle CEB$, то есть $\alpha_E$.
  Следовательно, $\angle CSR = \alpha_B + \alpha_E$.

4. Нахождение суммы углов звезды

Теперь подставим полученные выражения для углов $\triangle CRS$ в уравнение суммы углов треугольника:

$\alpha_C + (\alpha_A + \alpha_D) + (\alpha_B + \alpha_E) = 180^\circ$

Перегруппировав слагаемые, мы получим искомую сумму углов звезды:

$\alpha_A + \alpha_B + \alpha_C + \alpha_D + \alpha_E = 180^\circ$

Таким образом, сумма углов при вершинах полученной «звезды» равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.