Номер 1.32, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.32. В четырёхугольнике ABCD сумма углов ABD и BDC равна $180^\circ$, а стороны AD и BC равны (рис. 1.19). Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$.

Рис. 1.19

1.32. В четырёхугольнике $ABCD$ сумма углов $ABD$ и $BDC$ равна $180^\circ$, а стороны $AD$ и $BC$ равны (рис. 1.19). Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$.

Рис. 1.19

Для доказательства выполним дополнительное построение. Построим точку $K$ таким образом, чтобы четырёхугольник $BCDK$ являлся параллелограммом. Для этого отложим вектор $\vec{BK}$, равный вектору $\vec{CD}$.

Из свойств параллелограмма $BCDK$ следует, что его противоположные стороны равны и параллельны, а также противоположные углы равны. Таким образом, мы имеем:
1) $BC = KD$ и $BK \parallel CD$.
2) $\angle BCD = \angle BKD$.

По условию задачи дано, что $AD = BC$. Сопоставляя это с равенством $BC = KD$ (из свойств параллелограмма), получаем, что $AD = KD$. Это означает, что треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle DAK = \angle DKA$.

Рассмотрим параллельные прямые $BK$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $\angle KBD$ и $\angle BDC$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle KBD = \angle BDC$.

В условии задачи сказано, что $\angle ABD + \angle BDC = 180°$. Заменим в этом равенстве $\angle BDC$ на равный ему угол $\angle KBD$:
$\angle ABD + \angle KBD = 180°$.

Сумма смежных углов $\angle ABD$ и $\angle KBD$ составляет $180°$. Это означает, что лучи $BA$ и $BK$ являются продолжениями друг друга, то есть точки $A$, $B$ и $K$ лежат на одной прямой.

Теперь мы можем завершить доказательство.
Из равнобедренного треугольника $\triangle ADK$ мы получили, что $\angle DAK = \angle DKA$. Так как точки $A, B, K$ лежат на одной прямой, то $\angle DAK$ — это тот же угол, что и $\angle BAD$. Следовательно, $\angle BAD = \angle DKA$.
Из свойств параллелограмма $BCDK$ мы знаем, что $\angle BCD = \angle BKD$.
Поскольку точки $A, B, K$ лежат на одной прямой, углы $\angle DKA$ и $\angle BKD$ — это один и тот же угол (с вершиной в точке $K$, одна сторона $KD$, а другая — прямая $AK$).
Таким образом, мы имеем цепочку равенств: $\angle BAD = \angle DKA = \angle BKD = \angle BCD$.
Отсюда следует, что $\angle BAD = \angle BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle BAD = \angle BCD$ доказано.