Номер 1.25, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.25. Постройте четырёхугольник $ABCD$ по углам $A$ и $B$, сторонам $AB$ и $BC$ и сумме сторон $AD$ и $CD$.

1.25. Постройте четырёхугольник $ABCD$ по углам $A$ и $B$, сторонам $AB$ и $BC$ и сумме сторон $AD$ и $CD$.

Для построения искомого четырехугольника $ABCD$ воспользуемся методом вспомогательного построения. Основная сложность заключается в использовании условия на сумму сторон $AD$ и $CD$. Преобразуем это условие в геометрическое свойство, которое можно построить с помощью циркуля и линейки. Для этого на луче $AD$ отложим отрезок $DK$, равный $CD$. Тогда точка $K$ будет лежать на том же луче, что и точка $D$, и $AK = AD + DK = AD + CD$. Длина отрезка $AK$ нам известна. Кроме того, из равенства $CD = DK$ следует, что треугольник $CDK$ является равнобедренным, а значит, точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CK$. Таким образом, искомая точка $D$ находится на пересечении двух геометрических мест точек: луча, выходящего из точки $A$ под заданным углом $A$, и серединного перпендикуляра к отрезку $CK$.

Алгоритм построения:

1. Построить отрезок $AB$ заданной длины.
2. От луча $AB$ в требуемой полуплоскости отложить угол, равный данному $\angle A$. Получим луч $l$.
3. От луча $BA$ в той же полуплоскости отложить угол, равный данному $\angle B$. Получим луч $m$.
4. На луче $m$ от точки $B$ отложить отрезок $BC$ заданной длины. Таким образом, будут построены вершины $A, B, C$.
5. На луче $l$ от точки $A$ отложить отрезок $AK$, длина которого равна заданной сумме $s = AD + CD$.
6. Соединить точки $C$ и $K$ отрезком.
7. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $CK$.
8. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра и отрезка $AK$ является искомой вершиной $D$.
9. Соединить точки $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым.

Доказательство:
Построенный четырехугольник $ABCD$ имеет стороны $AB$, $BC$ и углы $\angle A$, $\angle B$, равные заданным по построению. Необходимо доказать, что сумма сторон $AD + CD$ равна заданной величине $s$.
По построению, точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CK$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $CD = DK$.
Точка $D$ также лежит на отрезке $AK$ (по построению). Следовательно, длина отрезка $AK$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DK$, то есть $AK = AD + DK$.
Заменяя в этом равенстве $DK$ на равный ему отрезок $CD$, получаем $AK = AD + CD$.
По построению (шаг 5), длина отрезка $AK$ равна заданной сумме $s$.
Следовательно, $AD + CD = s$. Таким образом, построенный четырехугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование:
Задача имеет решение, если описанное построение выполнимо и приводит к единственному результату. Построение точек $A, B, C$ и вспомогательной точки $K$ всегда возможно и однозначно. Ключевым моментом является существование и единственность точки $D$ как точки пересечения серединного перпендикуляра к $CK$ и отрезка $AK$.

Точка $D$ существует и единственна, если серединный перпендикуляр к $CK$ пересекает прямую $AK$ в одной точке, и эта точка принадлежит отрезку $AK$.

Пересечение существует, если прямая $AK$ и перпендикуляр не параллельны, то есть если отрезок $CK$ не перпендикулярен прямой $AK$.

Точка пересечения $D$ окажется на отрезке $AK$ в том и только в том случае, если точки $A$ и $K$ лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра к $CK$ (или одна из них лежит на нем). Точка $P$ лежит на той же стороне перпендикуляра, что и $C$, если $PC < PK$, и на той же стороне, что и $K$, если $PK < PC$. Так как $KK=0 < KC$ (если $C$ и $K$ не совпадают), точка $K$ всегда находится "со своей" стороны перпендикуляра. Следовательно, для того чтобы точка $D$ лежала на отрезке $AK$, необходимо и достаточно, чтобы точка $A$ лежала "со стороны" точки $C$ или на самом перпендикуляре. Это условие выражается неравенством $AC \le AK$.

Так как по построению $AK = s$, условие существования решения принимает вид $AC \le s$. Длину стороны $AC$ можно найти из треугольника $ABC$ по теореме косинусов, так как известны стороны $AB$, $BC$ и угол $\angle B$ между ними: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$.

Таким образом, задача имеет единственное решение, если $s > \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)}$ и $CK$ не перпендикулярен $AK$. Если $s = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)}$, то $AC=s$, точка $D$ совпадает с $A$, и мы получаем вырожденный четырехугольник (треугольник $ABC$). Если $s < \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)}$, то решения не существует.

Ответ: Четырехугольник строится следующим образом: строятся точки $A, B, C$ по известным сторонам $AB$, $BC$ и углу $\angle B$. Затем строится луч $l$ из $A$ под углом $\angle A$ к $AB$. На этом луче находится вспомогательная точка $K$ на расстоянии $s=AD+CD$ от $A$. Искомая вершина $D$ является точкой пересечения луча $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CK$. Задача имеет единственное решение при выполнении условий, описанных в исследовании.