Номер 1.24, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.24. Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.

1.24. Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$. Диагонали четырёхугольника — $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Периметр $P = a+b+c+d$, а полупериметр $p = P/2 = (a+b+c+d)/2$.

Задача состоит в том, чтобы доказать два неравенства:
1. $d_1 + d_2 < P$
2. $d_1 + d_2 > p$

Для доказательства этого неравенства воспользуемся неравенством треугольника. Это свойство гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, которые образуются диагональю $AC$:
В $\triangle ABC$: $AC < AB + BC$, то есть $d_1 < a + b$.
В $\triangle ADC$: $AC < AD + DC$, то есть $d_1 < d + c$.

Сложив эти два неравенства, получим:
$d_1 + d_1 < (a+b) + (d+c)$
$2d_1 < a+b+c+d$
$2d_1 < P$

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$, которые образуются диагональю $BD$:
В $\triangle ABD$: $BD < AB + AD$, то есть $d_2 < a + d$.
В $\triangle BCD$: $BD < BC + CD$, то есть $d_2 < b + c$.

Сложив эти два неравенства, получим:
$d_2 + d_2 < (a+d) + (b+c)$
$2d_2 < a+b+c+d$
$2d_2 < P$

Теперь сложим полученные результаты для диагоналей:
$2d_1 + 2d_2 < P + P$
$2(d_1 + d_2) < 2P$
Разделив обе части на 2, получаем:
$d_1 + d_2 < P$
Таким образом, первое утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра.

Для доказательства второго неравенства рассмотрим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Обозначим её как $O$. Так как четырёхугольник выпуклый, эта точка лежит внутри него. Диагонали делятся точкой пересечения на отрезки: $AC = AO + OC$ и $BD = BO + OD$.

Точка $O$ образует четыре треугольника: $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODA$. Применим к каждому из них неравенство треугольника:

В $\triangle OAB$: $OA + OB > AB$ (то есть $OA + OB > a$)
В $\triangle OBC$: $OB + OC > BC$ (то есть $OB + OC > b$)
В $\triangle OCD$: $OC + OD > CD$ (то есть $OC + OD > c$)
В $\triangle ODA$: $OD + OA > DA$ (то есть $OD + OA > d$)

Теперь сложим левые и правые части всех четырёх неравенств:
$(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > a + b + c + d$

Сгруппируем слагаемые в левой части:
$(OA + OC) + (OA + OC) + (OB + OD) + (OB + OD) > P$
Заметим, что $OA + OC = AC = d_1$ и $OB + OD = BD = d_2$.
$2(OA+OC) + 2(OB+OD) > P$
$2d_1 + 2d_2 > P$
$2(d_1 + d_2) > P$

Разделив обе части неравенства на 2, получим:
$d_1 + d_2 > P/2$
Так как $p = P/2$ — это полупериметр, то $d_1 + d_2 > p$.
Второе утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше его полупериметра.