Номер 1.15, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.15. Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

1.15. Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

Пусть дан выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все внутренние углы которого равны.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S = (n-2) \cdot 180^\circ$. Для шестиугольника, где $n=6$, сумма углов равна $(6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Поскольку по условию все шесть углов равны, величина каждого угла составляет $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Обозначим стороны шестиугольника как векторы: $\vec{v_1} = \vec{A_1A_2}$, $\vec{v_2} = \vec{A_2A_3}$, $\vec{v_3} = \vec{A_3A_4}$, $\vec{v_4} = \vec{A_4A_5}$, $\vec{v_5} = \vec{A_5A_6}$, $\vec{v_6} = \vec{A_6A_1}$.

Внешний угол при каждой вершине шестиугольника равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. При обходе многоугольника по контуру (например, против часовой стрелки) внешний угол при вершине $A_{i+1}$ соответствует углу поворота от вектора стороны $\vec{v_i}$ к вектору следующей стороны $\vec{v_{i+1}}$.

Пусть направление вектора $\vec{v_1}$ задается углом $\alpha$ относительно некоторой фиксированной оси. Так как каждый следующий вектор стороны получается из предыдущего поворотом на $60^\circ$, мы можем определить направления всех векторов сторон:

- Направление $\vec{v_1}$ (сторона $A_1A_2$): $\alpha$

- Направление $\vec{v_2}$ (сторона $A_2A_3$): $\alpha + 60^\circ$

- Направление $\vec{v_3}$ (сторона $A_3A_4$): $(\alpha + 60^\circ) + 60^\circ = \alpha + 120^\circ$

- Направление $\vec{v_4}$ (сторона $A_4A_5$): $(\alpha + 120^\circ) + 60^\circ = \alpha + 180^\circ$

- Направление $\vec{v_5}$ (сторона $A_5A_6$): $(\alpha + 180^\circ) + 60^\circ = \alpha + 240^\circ$

- Направление $\vec{v_6}$ (сторона $A_6A_1$): $(\alpha + 240^\circ) + 60^\circ = \alpha + 300^\circ$

Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть если углы их направлений совпадают или отличаются на $180^\circ$. Проверим это условие для трёх пар противоположных сторон шестиугольника.

Первая пара: $A_1A_2$ и $A_4A_5$.
Направления векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_4}$ задаются углами $\alpha$ и $\alpha + 180^\circ$. Разница углов составляет $(\alpha + 180^\circ) - \alpha = 180^\circ$. Следовательно, векторы коллинеарны, а стороны $A_1A_2$ и $A_4A_5$ параллельны.

Вторая пара: $A_2A_3$ и $A_5A_6$.
Направления векторов $\vec{v_2}$ и $\vec{v_5}$ задаются углами $\alpha + 60^\circ$ и $\alpha + 240^\circ$. Разница углов составляет $(\alpha + 240^\circ) - (\alpha + 60^\circ) = 180^\circ$. Следовательно, стороны $A_2A_3$ и $A_5A_6$ параллельны.

Третья пара: $A_3A_4$ и $A_6A_1$.
Направления векторов $\vec{v_3}$ и $\vec{v_6}$ задаются углами $\alpha + 120^\circ$ и $\alpha + 300^\circ$. Разница углов составляет $(\alpha + 300^\circ) - (\alpha + 120^\circ) = 180^\circ$. Следовательно, стороны $A_3A_4$ и $A_6A_1$ параллельны.

Таким образом, мы доказали, что все три пары противоположных сторон шестиугольника ($A_1A_2$ и $A_4A_5$, $A_2A_3$ и $A_5A_6$, $A_3A_4$ и $A_6A_1$) параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.