Номер 5.34, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.34. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

5.34. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Дано:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть $CM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, то есть $AM = MB$.

Доказать:

$CM = \frac{1}{2}AB$.

Доказательство:

1. Достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ADBC$. Для этого через вершину $A$ проведём прямую, параллельную катету $BC$, а через вершину $B$ — прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

2. По построению, $AD \parallel BC$ и $BD \parallel AC$. Следовательно, четырёхугольник $ADBC$ является параллелограммом (по определению, так как его противоположные стороны попарно параллельны).

3. Поскольку в исходном треугольнике $ABC$ угол $C$ был прямым ($\angle C = 90^\circ$), то параллелограмм $ADBC$ является прямоугольником (так как параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником).

4. В прямоугольнике $ADBC$ отрезки $AB$ и $CD$ являются диагоналями. По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. То есть, $AB = CD$, и они пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них.

5. Так как $M$ — середина диагонали $CD$, то $CM = \frac{1}{2}CD$.

6. Так как диагонали прямоугольника равны, $CD = AB$.

7. Заменим в равенстве из пункта 5 отрезок $CD$ на равный ему отрезок $AB$: $CM = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, мы доказали, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.