Номер 5.41, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.41. В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 2AB$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $\angle AMB = \angle AMD$. Найдите эти углы.

5.41. В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 2AB$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $\angle AMB = \angle AMD$. Найдите эти углы.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, в котором $AD = 2AB$. Обозначим длину стороны $AB$ как $x$. Тогда $AD = 2x$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC = AD = 2x$ и $CD = AB = x$, а все углы равны $90^\circ$.

Поскольку стороны $AD$ и $BC$ прямоугольника параллельны, то при пересечении их секущей $AM$ накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle DAM = \angle AMB$.

По условию задачи дано, что $\angle AMB = \angle AMD$. Сопоставляя это равенство с равенством, полученным выше, получаем:$\angle DAM = \angle AMD$.

Рассмотрим треугольник $ADM$. Так как два его угла ($\angle DAM$ и $\angle AMD$) равны, то он является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны: $AD = DM$.

Из условия мы знаем, что $AD = 2AB$. Следовательно, $DM = 2AB = 2x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CDM$ (угол $C$ прямой, $\angle C = 90^\circ$). В нем катет $CD = AB = x$, а гипотенуза $DM = 2x$. По теореме Пифагора найдем катет $CM$:$DM^2 = CD^2 + CM^2$$(2x)^2 = x^2 + CM^2$$4x^2 = x^2 + CM^2$$CM^2 = 3x^2$$CM = x\sqrt{3}$

Точка $M$ лежит на стороне $BC$. Мы можем найти длину отрезка $BM$:$BM = BC - CM = 2x - x\sqrt{3} = x(2 - \sqrt{3})$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $B$ прямой, $\angle B = 90^\circ$). Найдем тангенс угла $\angle AMB$:$\tan(\angle AMB) = \frac{AB}{BM} = \frac{x}{x(2 - \sqrt{3})} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

Упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 + \sqrt{3})$:$\tan(\angle AMB) = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

Значение тангенса $2 + \sqrt{3}$ соответствует углу $75^\circ$.Следовательно, $\angle AMB = 75^\circ$.

По условию $\angle AMB = \angle AMD$, значит $\angle AMD = 75^\circ$.

Ответ: $\angle AMB = \angle AMD = 75^\circ$.