Номер 5.45, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.45. Серединный перпендикуляр диагонали AC прямоугольника ABCD пересекает сторону BC и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.

5.45. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.

Пусть $ABCD$ — заданный прямоугольник. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Обозначим искомый угол между диагоналями через $\alpha$. Как правило, под углом между прямыми понимают острый угол, поэтому будем считать, что $\alpha$ — это острый угол. Пусть $\angle AOB = \alpha$.

Проведем серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. Он проходит через середину $AC$, то есть через точку $O$, и перпендикулярен $AC$. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Тогда прямая $OK$ является частью серединного перпендикуляра к $AC$, и, следовательно, $\angle KOC = 90^\circ$.

По условию задачи, угол, который серединный перпендикуляр $OK$ образует со стороной $BC$, равен углу между диагоналями. Этот угол — $\angle OKC$. Таким образом, $\angle OKC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OKC$. Он является прямоугольным, так как $\angle KOC = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:$\angle OKC + \angle OCK = 90^\circ$

Теперь найдем связь между углом $\angle OCK$ и углом $\alpha$.В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OA = OB = OC = OD$. Отсюда следует, что треугольник $\triangle OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, так как $OB = OC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OCB = \angle OBC$.Угол $\angle OCK$ совпадает с углом $\angle OCB$, то есть $\angle OCK = \angle OCB$.

Угол $\angle BOC$ в треугольнике $\triangle OBC$ и угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Значит, $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle OBC$ равна $180^\circ$:$\angle BOC + \angle OCB + \angle OBC = 180^\circ$Подставив известные нам соотношения, получим:$(180^\circ - \alpha) + \angle OCB + \angle OCB = 180^\circ$$180^\circ - \alpha + 2\angle OCB = 180^\circ$$2\angle OCB = \alpha$$\angle OCB = \frac{\alpha}{2}$Следовательно, $\angle OCK = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь вернемся к уравнению для углов прямоугольного треугольника $\triangle OKC$:$\angle OKC + \angle OCK = 90^\circ$Подставим в него известные нам значения углов, выраженные через $\alpha$:$\alpha + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\alpha$:$\frac{3\alpha}{2} = 90^\circ$$3\alpha = 180^\circ$$\alpha = \frac{180^\circ}{3}$$\alpha = 60^\circ$

Угол между диагоналями равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$