Номер 5.47, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.47. Постройте ромб:

1) по острому углу и разности диагоналей;

2) по острому углу и сумме стороны и высоты.

5.47. Постройте ромб:

1) по острому углу и разности диагоналей;

2) по острому углу и сумме стороны и высоты.

1) по острому углу и разности диагоналей;

Анализ

Пусть искомый ромб $ABCD$ построен. Пусть $AC=d_1$, $BD=d_2$ — его диагонали, $O$ — точка их пересечения, и $\angle BAD = \alpha$ — острый угол. По условию, дана разность диагоналей $d_1 - d_2 = d$ (предполагаем $d_1 > d_2$).

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. В нем катеты $AO = d_1/2$, $BO = d_2/2$ и острый угол $\angle OAB = \alpha/2$.

Отложим на луче $OA$ отрезок $OK$, равный $BO$. Так как $d_1 > d_2$, то $AO > BO$, и точка $K$ окажется между $A$ и $O$. Длина отрезка $AK$ будет равна $AK = AO - OK = AO - BO = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{d_1-d_2}{2} = d/2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BOK$. Так как $OK=BO$ и $\angle BOK = 90^\circ$, то он является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, его острые углы равны $45^\circ$, в частности $\angle BKO = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. В нем нам известны:

• Сторона $AK = d/2$.
• Угол $\angle BAK = \angle OAB = \alpha/2$.
• Угол $\angle BKA$, который является смежным с углом $\angle BKO$. Следовательно, $\angle BKA = 180^\circ - \angle BKO = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $\triangle ABK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. После построения этого треугольника, мы можем найти центр ромба $O$. Точка $O$ лежит на прямой $AK$ и такова, что $\angle BOK = 90^\circ$. Значит, $O$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AK$. Найдя точки $A, B$ и $O$, мы можем легко достроить весь ромб.

Построение

1. Построим угол, равный $\alpha/2$, разделив данный угол $\alpha$ пополам с помощью циркуля и линейки.
2. Построим отрезок длиной $d/2$, разделив данный отрезок $d$ пополам.
3. На произвольной прямой $l$ выберем точку $A$ и отложим отрезок $AK$, равный $d/2$.
4. От луча $AK$ отложим угол $\angle KAX$, равный $\alpha/2$.
5. От луча $KA$ в ту же полуплоскость отложим угол $\angle AKY$, равный $135^\circ$.
6. Точка $B$ является пересечением лучей $AX$ и $KY$. Треугольник $ABK$ построен.
7. Из точки $B$ опустим перпендикуляр $BO$ на прямую $l$. Точка $O$ — центр искомого ромба.
8. На луче $AO$ за точкой $O$ отложим отрезок $OC$, равный $AO$.
9. На луче $BO$ за точкой $O$ отложим отрезок $OD$, равный $BO$.
10. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получим искомый ромб.

Доказательство

По построению, диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, взаимно перпендикулярны ($BO \perp AC$) и делятся этой точкой пополам ($AO=OC, BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Угол ромба $\angle BAD = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot (\alpha/2) = \alpha$.

Найдем разность диагоналей. Диагонали ромба равны $d_1 = AC = 2AO$ и $d_2 = BD = 2BO$. Рассмотрим $\triangle BOK$. По построению, $\angle BOK = 90^\circ$. Угол $\angle BKO = 180^\circ - \angle BKA = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle KBO = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Таким образом, $\triangle BOK$ — равнобедренный, и $OK=BO$.

Точки $A, K, O$ лежат на одной прямой, причем $K$ находится между $A$ и $O$. Значит, $AO = AK + KO$. Разность диагоналей $d_1 - d_2 = 2AO - 2BO = 2(AK+KO) - 2BO$. Поскольку $KO=BO$, получаем $d_1-d_2 = 2(AK+BO) - 2BO = 2AK$. По построению, $AK=d/2$, следовательно, $d_1-d_2 = 2 \cdot (d/2) = d$. Построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Ромб построен в соответствии с приведенным выше алгоритмом.

2) по острому углу и сумме стороны и высоты.

Анализ

Пусть $a$ — сторона ромба, $h$ — его высота, $\alpha$ — острый угол. По условию, нам дан угол $\alpha$ и отрезок $S$, равный сумме $a+h$.

Из прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба $a$ (в качестве гипотенузы), высотой $h$ (в качестве катета) и углом $\alpha$, противолежащим этому катету, следует соотношение: $h = a \sin \alpha$.

Подставим это выражение в данную нам сумму: $a + a \sin \alpha = S$, что эквивалентно $a(1 + \sin \alpha) = S$. Отсюда можно выразить сторону ромба: $a = \frac{S}{1 + \sin \alpha}$.

Таким образом, задача сводится к построению отрезка $a$ по известному отрезку $S$ и углу $\alpha$. Это классическая задача на построение четвертого пропорционального отрезка. Сначала необходимо построить отрезок, представляющий величину $1+\sin\alpha$ (относительно некоторого единичного отрезка), а затем, используя его, построить $a$. После того как сторона $a$ будет найдена, построение самого ромба по стороне и углу является стандартной задачей.

Построение

1. Построение стороны ромба $a$:
   1. Выберем произвольный единичный отрезок $u$.
   2. Построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $u$ и острым углом $\alpha$. Катет, противолежащий этому углу, будет иметь длину $u \sin \alpha$.
   3. На прямой отложим отрезок $L = u + u \sin \alpha = u(1 + \sin \alpha)$.
   4. Теперь построим отрезок $a$ как четвертый пропорциональный в пропорции $L : u = S : a$. Для этого:
      1. На одной стороне произвольного угла с вершиной $O$ отложим отрезки $OL' = L$ и $OU' = u$.
      2. На другой стороне того же угла отложим отрезок $OS' = S$.
      3. Соединим точки $L'$ и $S'$.
      4. Проведем через точку $U'$ прямую, параллельную отрезку $L'S'$. Точка ее пересечения со второй стороной угла, пусть это будет $A'$, отсечет отрезок $OA'$.
   5. Из подобия треугольников $\triangle OU'A' \sim \triangle OL'S'$ следует, что $OA' / OS' = OU' / OL'$, откуда $OA' = OS' \cdot \frac{OU'}{OL'} = S \cdot \frac{u}{L} = S \cdot \frac{u}{u(1+\sin\alpha)} = \frac{S}{1+\sin\alpha}$. Таким образом, длина отрезка $OA'$ равна искомой стороне $a$.
2. Построение ромба:
   1. Построим отрезок $AB$, равный найденной длине $a$.
   2. От луча $AB$ отложим угол $\angle BAX$, равный $\alpha$.
   3. На луче $AX$ отложим отрезок $AD$, равный $a$.
   4. Через точку $D$ проведем прямую, параллельную $AB$.
   5. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную $AD$.
   6. Точка пересечения этих двух прямых даст четвертую вершину ромба $C$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

По построению, $ABCD$ — параллелограмм, у которого смежные стороны $AB$ и $AD$ равны $a$. Следовательно, $ABCD$ — ромб. Угол $\angle BAD$ равен $\alpha$ по построению.

Сторона ромба $a$ построена так, что $a = \frac{S}{1+\sin\alpha}$. Высота этого ромба $h = a \sin \alpha = \frac{S \sin\alpha}{1+\sin\alpha}$.

Найдем сумму стороны и высоты построенного ромба: $a+h = \frac{S}{1+\sin\alpha} + \frac{S \sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \frac{S + S \sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \frac{S(1+\sin\alpha)}{1+\sin\alpha} = S$.

Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Ромб построен в соответствии с приведенным выше алгоритмом.