Номер 5.43, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.43. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ во внешнюю сторону построены квадраты $APQB$ и $BMNC$. Докажите, что отрезки $DP$ и $DN$ равны и перпендикулярны.

5.43. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ во внешнюю сторону построены квадраты $APQB$ и $BMNC$. Докажите, что отрезки $DP$ и $DN$ равны и перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Введем систему координат с началом в точке $B$. Обозначим векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагональ $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{c}$. Таким образом, мы можем выразить векторы положения вершин: $B(\vec{0})$, $A(\vec{a})$, $C(\vec{c})$, $D(\vec{a}+\vec{c})$.

Введем оператор $R$, соответствующий повороту вектора на $90^\circ$ против часовой стрелки. Ключевым свойством этого оператора является то, что последовательное применение оператора дважды равносильно повороту на $180^\circ$, то есть $R(R(\vec{v})) = -\vec{v}$.

Найдем векторы положения точек $P$ и $N$.

Квадрат $APQB$ построен на стороне $AB$ во внешнюю сторону. Будем считать, что обход вершин параллелограмма $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ происходит против часовой стрелки. Тогда для внешнего квадрата $APQB$ обход $A \rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow B$ также будет против часовой стрелки. Это означает, что вектор $\vec{AP}$ получается поворотом вектора $\vec{AB}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки.$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$.$\vec{AP} = R(\vec{AB}) = R(-\vec{a}) = -R(\vec{a})$.Тогда вектор положения точки $P$ равен $\vec{p} = \vec{A} + \vec{AP} = \vec{a} - R(\vec{a})$.

Квадрат $BMNC$ построен на стороне $BC$ во внешнюю сторону (обход $B \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow C$ против часовой стрелки). Вектор $\vec{BM}$ получается поворотом вектора $\vec{BC}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки.$\vec{BC} = \vec{c}$.$\vec{BM} = R(\vec{BC}) = R(\vec{c})$.Вектор $\vec{BN}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{BM}$ и $\vec{MN}$. Так как $BMNC$ — квадрат, $\vec{MN} = \vec{BC} = \vec{c}$.Следовательно, вектор положения точки $N$ равен $\vec{n} = \vec{BN} = \vec{BM} + \vec{MN} = R(\vec{c}) + \vec{c}$.

Теперь найдем векторы $\vec{DP}$ и $\vec{DN}$, соответствующие искомым отрезкам.$\vec{DP} = \vec{p} - \vec{d} = (\vec{a} - R(\vec{a})) - (\vec{a} + \vec{c}) = -R(\vec{a}) - \vec{c}$.$\vec{DN} = \vec{n} - \vec{d} = (R(\vec{c}) + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{c}) = R(\vec{c}) - \vec{a}$.

Чтобы доказать равенство и перпендикулярность отрезков, сравним векторы $\vec{DP}$ и $\vec{DN}$. Для этого применим оператор поворота $R$ к вектору $\vec{DN}$:$R(\vec{DN}) = R(R(\vec{c}) - \vec{a}) = R(R(\vec{c})) - R(\vec{a})$.Используя свойство $R(R(\vec{c})) = -\vec{c}$, получаем:$R(\vec{DN}) = -\vec{c} - R(\vec{a})$.Сравнивая это выражение с вектором $\vec{DP}$, мы видим, что $R(\vec{DN}) = \vec{DP}$.

Векторное равенство $\vec{DP} = R(\vec{DN})$ означает, что вектор $\vec{DP}$ получается из вектора $\vec{DN}$ поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки. Из этого факта напрямую следуют оба утверждения задачи:

1. Так как поворот является изометрией (сохраняет расстояние), длины векторов равны: $|\vec{DP}| = |R(\vec{DN})| = |\vec{DN}|$. Следовательно, отрезки $DP$ и $DN$ равны.
2. По определению поворота на $90^\circ$, угол между исходным вектором $\vec{DN}$ и повернутым вектором $\vec{DP}$ составляет $90^\circ$. Следовательно, отрезки $DP$ и $DN$ перпендикулярны.

Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки DP и DN равны по длине и взаимно перпендикулярны.