Номер 5.38, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.38. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

5.38. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. По условию, прямоугольник не является квадратом, следовательно, $a \neq b$. Без ограничения общности, будем считать, что $a > b$.

Проведём биссектрисы углов $A, B, C, D$. Так как все углы прямоугольника равны $90^\circ$, каждая биссектриса делит соответствующий угол на два угла по $45^\circ$.

Обозначим точки пересечения биссектрис смежных углов: $P$ — точка пересечения биссектрис углов $A$ и $D$; $Q$ — точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$; $R$ — точка пересечения биссектрис углов $B$ и $C$; $S$ — точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$. Полученный четырёхугольник — $PQRS$.

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами прямоугольника и парами биссектрис. Например, в треугольнике $\triangle ABQ$ углы при основании $AB$ равны $\angle BAQ = \angle ABQ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ABQ$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и угол при вершине $Q$, $\angle AQB = 90^\circ$. Аналогично, треугольники $\triangle BCR$, $\triangle CDS$ и $\triangle DAP$ также являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Отсюда следует, что все углы между пересекающимися биссектрисами смежных вершин равны $90^\circ$.

Углы четырёхугольника $PQRS$ совпадают с этими углами. Например, $\angle PQR$ является углом между биссектрисами углов $A$ и $B$, поэтому $\angle PQR = \angle AQB = 90^\circ$. Аналогично, $\angle QRS = 90^\circ$, $\angle RSP = 90^\circ$ и $\angle SPQ = 90^\circ$. Таким образом, все углы четырёхугольника $PQRS$ прямые, и он является прямоугольником.

Теперь найдём длины сторон этого прямоугольника. Сторона $PQ$ является частью биссектрисы угла $A$. Её длина равна разности длин отрезков $AQ$ и $AP$ (поскольку точки $A, P, Q$ лежат на одной прямой). В равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle ABQ$ с гипотенузой $AB = a$ катет $AQ$ равен $a / \sqrt{2}$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle DAP$ с гипотенузой $AD = b$ катет $AP$ равен $b / \sqrt{2}$.

Тогда длина стороны $PQ = AQ - AP = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Аналогично найдём длину стороны $QR$. Она является частью биссектрисы угла $B$ и равна разности длин отрезков $BQ$ и $BR$. Из $\triangle ABQ$ катет $BQ = a / \sqrt{2}$. Из $\triangle BCR$ (гипотенуза $BC=b$) катет $BR = b / \sqrt{2}$. Тогда длина стороны $QR = BQ - BR = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Проводя такие же рассуждения для сторон $RS$ и $SP$, получим, что $RS = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$ и $SP = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Мы получили, что $PQRS$ является прямоугольником, у которого все стороны равны: $PQ = QR = RS = SP = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $PQRS$ — квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.