Номер 5.35, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.35. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов параллелограмма, не являющегося ромбом, являются вершинами прямоугольника.

5.35. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов параллелограмма, не являющегося ромбом, являются вершинами прямоугольника.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, который не является ромбом. Проведем биссектрисы его углов. Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $P$, биссектрисы углов $B$ и $C$ — в точке $Q$, биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $R$, и биссектрисы углов $D$ и $A$ — в точке $S$. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $PQRS$. Требуется доказать, что $PQRS$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что $PQRS$ — прямоугольник, достаточно показать, что все его внутренние углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим угол при вершине $P$. Этот угол, $\angle SPQ$, образован пересечением биссектрис углов $A$ и $B$ параллелограмма. Рассмотрим треугольник $APB$, образованный стороной $AB$ и отрезками биссектрис $AP$ и $BP$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ$

Поскольку $AP$ и $BP$ являются биссектрисами, то $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle DAB$ и $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle ABC$. Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов треугольника:
$\angle APB + \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle ABC = 180^\circ$
$\angle APB + \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC) = 180^\circ$

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$. Используя это свойство, получаем:
$\angle APB + \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ$
$\angle APB + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle APB = 90^\circ$

Угол $\angle SPQ$ четырехугольника $PQRS$ образован теми же биссектрисами, что и угол $\angle APB$, поэтому $\angle SPQ = 90^\circ$.

Аналогично доказывается, что и остальные углы четырехугольника $PQRS$ являются прямыми. Угол при каждой вершине четырехугольника $PQRS$ образован биссектрисами двух соседних углов параллелограмма. Так как сумма двух соседних углов параллелограмма всегда равна $180^\circ$, то угол между их биссектрисами всегда будет равен $180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$. Таким образом:
$\angle PQR = 90^\circ$
$\angle QRS = 90^\circ$
$\angle RSP = 90^\circ$

Таким образом, все четыре угла четырехугольника $PQRS$ равны $90^\circ$. Следовательно, $PQRS$ является прямоугольником.

Условие, что параллелограмм не является ромбом, гарантирует, что точки $P, Q, R, S$ различны и не совпадают. В случае ромба все биссектрисы пересекаются в одной точке (центре ромба), и четырехугольник вырождается в точку.

Ответ: Было доказано, что все углы четырехугольника, образованного точками пересечения биссектрис углов параллелограмма, равны $90^\circ$, следовательно, этот четырехугольник является прямоугольником.