Номер 5.40, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.40. Даны точки $M$ и $K$. Постройте квадрат $ABCD$ так, чтобы точка $M$ была серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $BC$.

5.40. Даны точки $M$ и $K$. Постройте квадрат $ABCD$ так, чтобы точка $M$ была серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $BC$.

Для построения квадрата $ABCD$ по заданным серединам сторон $M$ и $K$ выполним анализ, построение и доказательство.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый квадрат. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ — середина стороны $BC$. По определению квадрата, стороны $AB$ и $BC$ равны и перпендикулярны, то есть $AB = BC$ и $\angle ABC = 90^\circ$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, то $MB = \frac{1}{2}AB$. Поскольку $K$ — середина $BC$, то $BK = \frac{1}{2}BC$.

Так как $AB = BC$, следует, что $MB = BK$. Таким образом, треугольник $\triangle MBK$ является равнобедренным. Угол этого треугольника при вершине $B$ совпадает с углом квадрата, то есть $\angle MBK = \angle ABC = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle MBK$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $B$. Это ключевое свойство, которое мы будем использовать для построения. В таком треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе $MK$, равна половине гипотенузы. Это означает, что если $O$ — середина отрезка $MK$, то $BO = OM = OK$. Кроме того, эта медиана является и высотой, то есть $BO \perp MK$.

Это дает нам способ найти вершину $B$, зная только точки $M$ и $K$. После нахождения точки $B$ остальные вершины $A$, $C$ и $D$ строятся однозначно.

Построение

1. Соединяем данные точки $M$ и $K$ отрезком.
2. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $MK$. Точку пересечения перпендикуляра с отрезком $MK$ (его середину) обозначим $O$.
3. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OM$ (или $OK$).
4. Данная окружность пересечет серединный перпендикуляр в двух точках. Любая из этих точек может быть выбрана в качестве вершины $B$ искомого квадрата. Выберем одну из них и назовем ее $B$.
5. Для нахождения вершины $A$ проводим луч $BM$ и откладываем на нем отрезок $MA = MB$. Точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $M$.
6. Аналогично для нахождения вершины $C$ проводим луч $BK$ и откладываем на нем отрезок $KC = BK$. Точка $C$ симметрична точке $B$ относительно точки $K$.
7. Для построения вершины $D$ отложим от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$, или от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{BA}$.
8. Соединяем последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство

По построению (шаги 2-4), точка $O$ является серединой отрезка $MK$, и $BO \perp MK$. Также $BO = OM = OK$ (как радиусы одной окружности). В треугольнике $\triangle MBK$ отрезок $BO$ является медианой к стороне $MK$, и его длина равна половине этой стороны ($BO = \frac{1}{2}MK$). Следовательно, $\triangle MBK$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle MBK = 90^\circ$.

Поскольку $O$ — середина $MK$ и $BO \perp MK$, то $\triangle BOK$ и $\triangle BOM$ — равные прямоугольные треугольники. Из этого следует, что их гипотенузы равны: $BM = BK$.

По построению (шаг 5), $M$ — середина отрезка $AB$, так как $AM = MB$. По построению (шаг 6), $K$ — середина отрезка $BC$, так как $CK = KB$.

Из того, что $BM=BK$, следует $2 \cdot BM = 2 \cdot BK$, то есть $AB = BC$. По построению (шаг 7), $\vec{AD} = \vec{BC}$ (или $\vec{CD} = \vec{BA}$), значит $ABCD$ — параллелограмм.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, у которого смежные стороны равны ($AB=BC$) и угол между ними прямой ($\angle B = 90^\circ$), то $ABCD$ является квадратом. При этом точки $M$ и $K$ по построению являются серединами его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Построение верно.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$, построенный согласно описанному алгоритму, является искомым квадратом.