Номер 5.46, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.46. Постройте прямоугольник:

1) по диагонали и разности двух сторон;

2) по периметру и диагонали;

3) по периметру и углу между диагоналями.

5.46. Постройте прямоугольник:

1) по диагонали и разности двух сторон;

2) по периметру и диагонали;

3) по периметру и углу между диагоналями.

1) по диагонали и разности двух сторон

Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали прямоугольника, и отрезок $c$, равный разности его смежных сторон $a$ и $b$ (пусть $a > b$, тогда $c = a - b$).

Анализ:
Пусть $ABCD$ – искомый прямоугольник со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. На стороне $AB$ отложим отрезок $AE$, равный $AD$. Тогда $EB = AB - AE = a - b = c$.
Рассмотрим треугольник $ADE$. Он является равнобедренным ($AD=AE=b$) и прямоугольным ($\angle DAE = 90^\circ$). Но это неверное предположение. Вершины прямоугольника обычно обозначают последовательно. Пусть стороны $AB=a, BC=b$. Диагональ $AC=d$.
Рассмотрим другой подход. Пусть $ABCD$ – искомый прямоугольник со сторонами $CD=a$ и $AD=b$. На луче $DC$ отложим точку $E$ так, что $DE = AD = b$. Тогда $CE = CD - DE = a - b = c$.
Рассмотрим треугольник $ADE$. Так как $\angle D = 90^\circ$ и $AD = DE$, то $\triangle ADE$ – равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, $\angle AED = 45^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. В нем известны сторона $CE = c$, сторона $AC = d$ и угол $\angle AEC = 45^\circ$. Такой треугольник можно построить.
После построения $\triangle ACE$ нужно найти вершину $D$. Точка $D$ лежит на прямой $CE$, и при этом $\angle ADE = 90^\circ$. Это означает, что $D$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CE$. Сторонами прямоугольника будут отрезки $AD$ и $CD$.

Построение:

1. Строим отрезок $CE$, равный данной разности сторон $c$.
2. От луча $EC$ строим луч $EX$ так, что $\angle CEX = 45^\circ$.
3. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным данной диагонали $d$.
4. Точка $A$ – это точка пересечения окружности и луча $EX$. (Для существования решения необходимо, чтобы $d \sin(45^\circ) \le c$, т.е. $d \le c\sqrt{2}$. В задаче предполагается, что решение существует).
5. Из точки $A$ опускаем перпендикуляр $AD$ на прямую $CE$.
6. Отрезки $AD$ и $CD$ являются сторонами искомого прямоугольника.
7. Для завершения построения проводим через точку $A$ прямую, параллельную $CD$, и через точку $C$ – прямую, параллельную $AD$. Точка их пересечения $B$ будет четвертой вершиной прямоугольника $ABCD$.

Ответ: Прямоугольник, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым, так как его диагональ по построению равна $d$, а разность сторон равна $(CD - AD) = (CE+ED)-AD$. Так как $\triangle ADE$ прямоугольный с углом $45^\circ$, он равнобедренный, $AD=ED$, следовательно разность сторон равна $CE = c$.

2) по периметру и диагонали

Пусть дан отрезок $P$, равный периметру, и отрезок $d$, равный диагонали. Полупериметр $S = P/2 = a+b$, где $a$ и $b$ – стороны прямоугольника.

Анализ:
Пусть $ABCD$ – искомый прямоугольник со сторонами $AB = a$ и $BC = b$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отложим отрезок $BE$, равный $BC$. Тогда $AE = AB + BE = a + b = S$.
Рассмотрим треугольник $CBE$. Он является прямоугольным ($\angle CBE = 90^\circ$, так как является смежным с $\angle ABC=90^\circ$) и равнобедренным ($CB = BE = b$). Следовательно, $\angle BEC = 45^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. В нем нам известны сторона $AE = S$, сторона $AC = d$ и угол $\angle AEC = 45^\circ$, противолежащий стороне $AC$. Такой треугольник можно построить.
После построения $\triangle ACE$ нужно найти вершину $B$. Точка $B$ лежит на отрезке $AE$, и при этом $BC \perp AE$ (так как $\angle CBE = 90^\circ$). Таким образом, $B$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AE$.

Построение:

1. Строим отрезок, равный полупериметру $S = P/2$.
2. Строим отрезок $AE$ длиной $S$.
3. От луча $EA$ строим луч $EX$ так, что $\angle AEX = 45^\circ$.
4. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$.
5. Точка $C$ – это точка пересечения окружности и луча $EX$. (Для существования решения необходимо, чтобы $d \ge S \sin(45^\circ) = S/\sqrt{2}$ и $d < S$).
6. Из точки $C$ опускаем перпендикуляр $CB$ на прямую $AE$.
7. Отрезки $AB$ и $BC$ – стороны искомого прямоугольника.
8. Достраиваем прямоугольник $ABCD$.

Ответ: Построенный прямоугольник $ABCD$ является искомым, так как его диагональ $AC$ по построению равна $d$, а сумма сторон $AB+BC = AB+BE$ (так как $\triangle CBE$ равнобедренный прямоугольный) $= AE = S$. Следовательно, периметр равен $2S=P$.

3) по периметру и углу между диагоналями

Пусть дан отрезок $P$, равный периметру, и угол $\alpha$ между диагоналями. Полупериметр $S = P/2 = a+b$.

Анализ:
Пусть $ABCD$ – искомый прямоугольник, $O$ – точка пересечения диагоналей, $\angle AOB = \alpha$.
Рассмотрим $\triangle AOB$. Он равнобедренный, так как $AO=BO$. Пусть угол между диагональю и стороной, $\angle CAB = \beta$. Тогда в $\triangle AOB$ углы при основании $AB$ равны $\beta$. Значит, $\angle AOB = 180^\circ - 2\beta$.
Из условия $\angle AOB = \alpha$ получаем $180^\circ - 2\beta = \alpha$, откуда $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
Как и в предыдущей задаче, выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $AB$ отложим отрезок $BE = BC$. Тогда $AE = AB + BE = a + b = S$.
В треугольнике $ACE$ нам известна сторона $AE = S$. Также мы знаем два прилежащих к ней угла:
1. $\angle CAE = \angle CAB = \beta = 90^\circ - \alpha/2$.
2. $\angle AEC = 45^\circ$ (из равнобедренного прямоугольного $\triangle CBE$).
Таким образом, мы можем построить $\triangle ACE$ по стороне и двум прилежащим углам. После этого вершина $B$ находится как основание перпендикуляра, опущенного из $C$ на $AE$.

Построение:

1. Строим отрезок, равный полупериметру $S = P/2$.
2. Строим угол $\beta = 90^\circ - \alpha/2$. Для этого нужно построить угол $\alpha$, поделить его пополам, а затем вычесть полученный угол $\alpha/2$ из прямого угла.
3. Строим отрезок $AE$ длиной $S$.
4. От луча $AE$ строим луч $AX$ так, что $\angle EAX = \beta$.
5. От луча $EA$ строим луч $EY$ так, что $\angle AEY = 45^\circ$ (в той же полуплоскости, что и $AX$).
6. Точка $C$ – это точка пересечения лучей $AX$ и $EY$.
7. Из точки $C$ опускаем перпендикуляр $CB$ на прямую $AE$.
8. Отрезки $AB$ и $BC$ – стороны искомого прямоугольника.
9. Достраиваем прямоугольник $ABCD$.

Ответ: Построенный прямоугольник $ABCD$ является искомым. Его периметр равен $2(AB+BC) = 2(AB+BE) = 2AE = 2S = P$. Угол между его диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен $\beta = 90^\circ - \alpha/2$, что обеспечивает угол между диагоналями, равный $\alpha$.