Номер 5.50, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.50. Постройте квадрат:

1) по сумме диагонали и стороны;

2) по разности диагонали и стороны.

5.50. Постройте квадрат:

1) по сумме диагонали и стороны;

2) по разности диагонали и стороны.

Анализ.

Пусть искомый квадрат ABCD со стороной $a$ и диагональю $d$ построен. Отложим на продолжении его диагонали AC за точку C отрезок CE, равный стороне квадрата $a$. Тогда длина отрезка AE будет равна сумме диагонали и стороны: $AE = AC + CE = d + a$. Это и есть данный нам отрезок $S$.

Рассмотрим треугольник BCE. В нем стороны $BC = a$ и $CE = a$, следовательно, он равнобедренный. Угол $BCA$ — это угол между диагональю и стороной квадрата, он равен $45^\circ$. Угол $BCE$ является смежным с углом $BCA$, поэтому $∠BCE = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Углы при основании BE в равнобедренном треугольнике BCE равны: $∠CBE = ∠CEB = (180^\circ - 135^\circ) / 2 = 22.5^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Мы можем его построить, так как нам известна сторона $AE = S$ и два прилежащих к ней угла: $∠BAE = ∠BAC = 45^\circ$ и $∠AEB = 22.5^\circ$. Сторона AB этого треугольника и будет стороной искомого квадрата.

Построение:

1. На прямой откладываем отрезок AE, равный данной сумме диагонали и стороны $S$.

2. От луча AE строим угол $∠EAB = 45^\circ$. Для этого строим прямой угол в точке A и делим его пополам с помощью циркуля и линейки.

3. От луча EA строим угол $∠AЕB = 22.5^\circ$. Для этого строим угол $45^\circ$ в точке E (аналогично п.2) и делим его пополам.

4. Точка B — точка пересечения построенных лучей.

5. Отрезок AB является стороной искомого квадрата. Строим квадрат ABCD по его стороне AB. (Например, восстанавливаем перпендикуляры из точек A и B и откладываем на них отрезки AD и BC', равные AB).

Доказательство. В построенном треугольнике ABE по теореме синусов имеем: $AB / \sin(∠AEB) = AE / \sin(∠ABE)$. Угол $∠ABE = 180^\circ - (45^\circ + 22.5^\circ) = 112.5^\circ$. $AB = AE \cdot \frac{\sin(22.5^\circ)}{\sin(112.5^\circ)} = S \cdot \frac{\sin(22.5^\circ)}{\cos(22.5^\circ)} = S \cdot \tan(22.5^\circ) = S(\sqrt{2}-1)$. Пусть мы построили квадрат со стороной $a_0 = S(\sqrt{2}-1)$. Его диагональ $d_0 = a_0\sqrt{2} = S(\sqrt{2}-1)\sqrt{2} = S(2-\sqrt{2})$. Сумма стороны и диагонали равна $a_0 + d_0 = S(\sqrt{2}-1) + S(2-\sqrt{2}) = S(\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}) = S$. Сумма равна исходной, следовательно, построение верное.

Ответ: Построить отрезок S, из его концов A и E в одну полуплоскость отложить углы $45^\circ$ и $22.5^\circ$ соответственно. Точка их пересечения B даст сторону AB искомого квадрата, по которой далее строится сам квадрат.

Анализ.

Пусть искомый квадрат ABCD со стороной $a$ и диагональю $d$ построен. На диагонали AC отложим от точки A отрезок AE, равный стороне квадрата $a$. Тогда оставшаяся часть диагонали, отрезок EC, будет равна разности диагонали и стороны: $EC = AC - AE = d - a$. Это и есть данный нам отрезок $D$.

Рассмотрим треугольник ABE. В нем стороны $AB = a$ и $AE = a$, следовательно, он равнобедренный. Угол $BAE$ совпадает с углом $BAC$ и равен $45^\circ$. Углы при основании BE в равнобедренном треугольнике ABE равны: $∠ABE = ∠AEB = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 67.5^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник BCE. Мы можем его построить. Нам известна сторона $EC = D$. Угол $BCE$ совпадает с углом $BCA$ и равен $45^\circ$. Угол $CEB$ является смежным с углом $AEB$, поэтому $∠CEB = 180^\circ - 67.5^\circ = 112.5^\circ$. Таким образом, мы можем построить треугольник BCE по стороне EC и двум прилежащим углам ($∠BCE=45^\circ$, $∠CEB=112.5^\circ$). Сторона BC этого треугольника и будет стороной искомого квадрата.

Построение:

1. На прямой откладываем отрезок EC, равный данной разности диагонали и стороны $D$.

2. От луча CE строим угол $∠ECB = 45^\circ$.

3. От луча EC в ту же полуплоскость строим угол $∠CEB = 112.5^\circ$. Для этого строим прямой угол в точке E и прибавляем к нему угол $22.5^\circ$ (полученный делением прямого угла на четыре части).

4. Точка B — точка пересечения построенных лучей.

5. Отрезок BC является стороной искомого квадрата. Строим квадрат ABCD по его стороне BC.

Доказательство. В построенном треугольнике BCE третий угол $∠CBE = 180^\circ - (45^\circ + 112.5^\circ) = 22.5^\circ$. По теореме синусов: $BC / \sin(∠CEB) = EC / \sin(∠CBE)$. $BC = EC \cdot \frac{\sin(112.5^\circ)}{\sin(22.5^\circ)} = D \cdot \frac{\cos(22.5^\circ)}{\sin(22.5^\circ)} = D \cdot \cot(22.5^\circ) = D(\sqrt{2}+1)$. Пусть мы построили квадрат со стороной $a_0 = D(\sqrt{2}+1)$. Его диагональ $d_0 = a_0\sqrt{2} = D(\sqrt{2}+1)\sqrt{2} = D(2+\sqrt{2})$. Разность диагонали и стороны равна $d_0 - a_0 = D(2+\sqrt{2}) - D(\sqrt{2}+1) = D(2+\sqrt{2}-\sqrt{2}-1) = D$. Разность равна исходной, следовательно, построение верное.

Ответ: Построить отрезок D, из его концов C и E в одну полуплоскость отложить углы $45^\circ$ и $112.5^\circ$ соответственно. Точка их пересечения B даст сторону BC искомого квадрата, по которой далее строится сам квадрат.