Номер 5.56, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.56. В квадрате ABCD отметили точку O так, что $\angle OAD = \angle ODA = 15^\circ$.Докажите, что треугольник BOC равносторонний.

5.56. В квадрате $ABCD$ отметили точку $O$ так, что $\angle OAD = \angle ODA = 15^\circ$.

Докажите, что треугольник $BOC$ равносторонний.

Для доказательства воспользуемся методом дополнительного построения. Построим внутри квадрата $ABCD$ точку $P$ таким образом, чтобы треугольник $PBC$ был равносторонним. Далее докажем, что эта точка $P$ совпадает с точкой $O$ из условия задачи.

1. Свойства построенной точки P

По построению, $\triangle PBC$ является равносторонним, а это значит, что все его стороны и углы равны: $PB = PC = BC$ и $\angle PBC = \angle PCB = \angle BPC = 60^\circ$.

Поскольку $ABCD$ — это квадрат, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Из этого следует, что $PB = AB$ и $PC = CD$.

2. Рассмотрение треугольника $ABP$

Так как $AB = PB$, треугольник $ABP$ является равнобедренным.

Найдём угол $\angle ABP$ при вершине $B$ этого треугольника:
$\angle ABP = \angle ABC - \angle PBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Так как $\triangle ABP$ равнобедренный, углы при его основании $AP$ равны:
$\angle PAB = \angle APB = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$.

3. Рассмотрение треугольника $DCP$

Аналогично, так как $DC = PC$, треугольник $DCP$ также является равнобедренным.

Найдём угол $\angle DCP$ при вершине $C$ этого треугольника:
$\angle DCP = \angle BCD - \angle PCB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Углы при основании $DP$ равнобедренного $\triangle DCP$ равны:
$\angle PDC = \angle DPC = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$.

4. Сравнение точек P и O

Теперь вычислим углы, которые отрезки $PA$ и $PD$ образуют со стороной $AD$.

$\angle PAD = \angle DAB - \angle PAB = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

$\angle PDA = \angle CDA - \angle PDC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

Таким образом, для построенной нами точки $P$ выполняются равенства $\angle PAD = 15^\circ$ и $\angle PDA = 15^\circ$. В условии задачи для точки $O$ даны точно такие же условия: $\angle OAD = 15^\circ$ и $\angle ODA = 15^\circ$.

Лучи, проведенные из вершин $A$ и $D$ внутрь квадрата под углом $15^\circ$ к стороне $AD$, могут пересекаться только в одной точке. Следовательно, точка $P$ и точка $O$ — это одна и та же точка.

5. Вывод

Поскольку точки $O$ и $P$ совпадают, а треугольник $PBC$ мы построили равносторонним, то и треугольник $OBC$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $BOC$ является равносторонним.