Номер 6.3, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.3. Докажите, что средняя линия $DE$ треугольника $ABC$ (точки $D$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно) и его медиана $BM$ точкой пересечения делятся пополам.

6.3. Докажите, что средняя линия $DE$ треугольника $ABC$ (точки $D$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно) и его медиана $BM$ точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан треугольник $ABC$. $DE$ — его средняя линия, где $D$ — середина стороны $AB$, а $E$ — середина стороны $BC$. $BM$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, то есть $M$ — середина $AC$. Пусть $K$ — точка пересечения отрезков $DE$ и $BM$. Требуется доказать, что точка $K$ является серединой как для отрезка $DE$, так и для отрезка $BM$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABM$. По условию, точка $D$ является серединой стороны $AB$.
По свойству средней линии треугольника $ABC$, отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ ($DE \parallel AC$). Поскольку точка $K$ лежит на $DE$, а точка $M$ — на $AC$, то $DK \parallel AM$.

Таким образом, в треугольнике $ABM$ через середину стороны $AB$ (точку $D$) проведена прямая, параллельная стороне $AM$. По теореме о прямой, проходящей через середину одной стороны треугольника параллельно другой, эта прямая пересекает третью сторону $BM$ в её середине. Следовательно, точка $K$ является серединой медианы $BM$, то есть $BK = KM$.

Теперь докажем, что точка $K$ является серединой средней линии $DE$.
Поскольку $D$ — середина $AB$ и $K$ — середина $BM$ (как доказано выше), то отрезок $DK$ является средней линией треугольника $ABM$. По свойству средней линии, его длина равна половине длины основания: $DK = \frac{1}{2} AM$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $CBM$. Точка $E$ — середина $BC$ (по условию), и мы доказали, что $K$ — середина $BM$. Значит, $KE$ является средней линией треугольника $CBM$. По свойству средней линии, $KE = \frac{1}{2} CM$.

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и, следовательно, $AM = CM$.
Сравнивая длины отрезков, получаем: $DK = \frac{1}{2} AM$ и $KE = \frac{1}{2} CM$. Из равенства $AM = CM$ следует, что $DK = KE$.
Таким образом, точка $K$ является серединой средней линии $DE$.

Мы доказали, что точка пересечения $K$ делит пополам и медиану $BM$, и среднюю линию $DE$.

Ответ: Что и требовалось доказать.