Номер 6.9, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.9. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

6.9. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Пусть данный прямоугольник — это $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Образованный четырехугольник — $KLMN$. Диагонали исходного прямоугольника $AC$ и $BD$ равны, и согласно условию их длина составляет 12 см: $AC = BD = 12$ см.

Определение вида четырехугольника:
1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.
2. Аналогично, отрезок $MN$ является средней линией в треугольнике $ADC$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
3. Из того, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$, следует, что четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
4. Рассмотрим теперь сторону $KN$. Она является средней линией в треугольнике $ABD$. Следовательно, $KN = \frac{1}{2}BD$.
5. В прямоугольнике диагонали равны, то есть $AC = BD$. Так как $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$, то смежные стороны параллелограмма $KLMN$ равны: $KL = KN$.
6. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ — это ромб.

Нахождение сторон четырехугольника:
Длина каждой стороны ромба $KLMN$ равна половине длины диагонали прямоугольника. Так как диагональ равна 12 см, то:
$KL = LM = MN = NK = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Все стороны четырехугольника равны 6 см.

Ответ: Четырехугольник является ромбом, все его стороны равны 6 см.