Номер 6.11, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.11. Докажите, что середины всех отрезков, соединяющих данную точку с точками данной прямой, лежат на одной прямой.

6.11. Докажите, что середины всех отрезков, соединяющих данную точку с точками данной прямой, лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько методов. Приведем два из них: аналитический (метод координат) и геометрический.

Способ 1. Метод координат

Введем на плоскости прямоугольную систему координат. Для удобства расположим данную прямую $l$ так, чтобы она совпадала с осью абсцисс ($Ox$). Тогда уравнение прямой $l$ будет $y=0$.

Пусть данная точка $P$ имеет координаты $(x_p, y_p)$.

Возьмем на прямой $l$ произвольную точку $A$. Поскольку $A$ лежит на оси $Ox$, ее координаты будут $(x_a, 0)$, где $x_a$ — любое действительное число.

Пусть точка $M(x_m, y_m)$ является серединой отрезка $PA$. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Таким образом, для координат точки $M$ имеем:

$x_m = \frac{x_p + x_a}{2}$

$y_m = \frac{y_p + 0}{2} = \frac{y_p}{2}$

Из полученных выражений мы видим, что ордината $y_m$ любой такой точки $M$ является постоянной величиной, равной $\frac{y_p}{2}$, и не зависит от выбора точки $A$ на прямой $l$ (то есть от значения $x_a$). В то же время, абсцисса $x_m$ может принимать любое действительное значение, так как $x_a$ может быть любым действительным числом.

Геометрическое место точек, имеющих постоянную ординату, — это прямая, параллельная оси абсцисс. В нашем случае это прямая, заданная уравнением $y = \frac{y_p}{2}$. Эта прямая параллельна исходной прямой $l$ (или совпадает с ней, если $y_p=0$, то есть точка $P$ лежит на прямой $l$).

Следовательно, все середины отрезков лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Множеством середин является прямая, параллельная данной прямой (или сама данная прямая, если точка лежит на ней).

Способ 2. Геометрический метод

Пусть $P$ — данная точка, а $l$ — данная прямая.

Выберем на прямой $l$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. Соединим точку $P$ с точками $A$ и $B$, получив отрезки $PA$ и $PB$.

Пусть $M_A$ — середина отрезка $PA$, а $M_B$ — середина отрезка $PB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle PAB$. Отрезок $M_A M_B$ соединяет середины двух его сторон ($PA$ и $PB$). По определению, $M_A M_B$ является средней линией треугольника $\triangle PAB$.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Значит, прямая, содержащая отрезок $M_A M_B$, параллельна прямой, содержащей сторону $AB$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$, то прямая $M_A M_B$ параллельна прямой $l$. Обозначим прямую, проходящую через точки $M_A$ и $M_B$, как $l'$.

Теперь возьмем на прямой $l$ любую другую точку $C$. Пусть $M_C$ — середина отрезка $PC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle PAC$. Отрезок $M_A M_C$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $PA$ и $PC$. Следовательно, прямая $M_A M_C$ параллельна прямой $AC$, то есть параллельна прямой $l$.

Таким образом, мы имеем две прямые ($M_A M_B$ и $M_A M_C$), проходящие через одну и ту же точку $M_A$ и обе параллельные одной и той же прямой $l$. По аксиоме о параллельных прямых Евклида, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые $M_A M_B$ и $M_A M_C$ совпадают.

Это означает, что точка $M_C$ лежит на прямой $l'$, проходящей через точки $M_A$ и $M_B$. Так как точка $C$ была выбрана на прямой $l$ произвольно, мы можем заключить, что середина любого отрезка, соединяющего точку $P$ с точкой на прямой $l$, лежит на прямой $l'$.

Ответ: Утверждение доказано. Все указанные середины отрезков лежат на одной прямой.