Номер 6.17, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.17. Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон.

6.17. Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон.

Для построения параллелограмма по серединам трёх его сторон $M, N, P$ воспользуемся свойствами четырёхугольника, образованного этими серединами.

Пусть искомый параллелограмм — это $ABCD$, а данные точки $M, N, P$ — середины трёх его сторон. Для определённости, предположим, что $M$ — середина стороны $AB$, $N$ — середина стороны $BC$, а $P$ — середина стороны $CD$. Пусть $Q$ — середина четвёртой стороны, $DA$. Согласно теореме Вариньона, четырёхугольник, образованный последовательным соединением середин сторон любого четырёхугольника, является параллелограммом. Таким образом, $MNPQ$ — это параллелограмм.

Это свойство позволяет нам выполнить первый шаг построения: найти положение четвёртой середины $Q$. Поскольку $MNPQ$ — параллелограмм, его диагонали $MP$ и $NQ$ должны пересекаться в одной точке и делиться ею пополам. Это означает, что мы можем построить точку $Q$ как четвёртую вершину параллелограмма по трём известным ($M, N, P$). Например, можно отложить от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{NP}$, или найти $Q$ из векторного равенства $\vec{q} = \vec{m} + \vec{p} - \vec{n}$.

После того как все четыре середины $M, N, P, Q$ найдены, используем ещё одно важное свойство. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, параллелен и равен двум другим его сторонам. То есть, отрезок $MP$ (соединяющий середины $AB$ и $CD$) параллелен и равен сторонам $BC$ и $AD$. Аналогично, отрезок $NQ$ (соединяющий середины $BC$ и $DA$) параллелен и равен сторонам $AB$ и $DC$.

Это даёт нам алгоритм построения сторон искомого параллелограмма $ABCD$:

1. Прямая, содержащая сторону $AB$, проходит через её середину $M$ и параллельна отрезку $NQ$.
2. Прямая, содержащая сторону $BC$, проходит через её середину $N$ и параллельна отрезку $MP$.
3. Прямая, содержащая сторону $CD$, проходит через её середину $P$ и параллельна отрезку $NQ$.
4. Прямая, содержащая сторону $DA$, проходит через её середину $Q$ и параллельна отрезку $MP$.

Пересечения этих четырёх прямых дадут нам искомые вершины $A, B, C, D$.

Важно отметить, что задача имеет три решения. Исходно нам даны три точки $M, N, P$, но не сказано, серединами каких именно сторон они являются. Это приводит к трём различным способам построения четвёртой середины $Q$, так как любая из трёх данных точек может быть вершиной параллелограмма Вариньона, противоположной одной из двух других. Каждое из трёх возможных расположений четвёртой середины ($Q_1$, $Q_2$ или $Q_3$) порождает свой параллелограмм-решение. Если же данные три точки лежат на одной прямой, то решение единственно и представляет собой вырожденный параллелограмм (отрезок).

Ответ: Для построения параллелограмма необходимо сначала найти положение четвёртой середины его стороны, назовём её $Q$. Это можно сделать, построив параллелограмм по трём данным точкам $M, N, P$. Так как существует три способа это сделать (считая диагоналями поочерёдно $MP$, $MN$ или $NP$), задача имеет три решения. Для каждого случая, найдя все четыре середины ($M, N, P, Q$), нужно провести через каждую из них прямую, параллельную отрезку, соединяющему две соседние для неё середины (например, через $M$ — прямую, параллельную $NQ$; через $N$ — прямую, параллельную $MP$, и т.д.). Точки пересечения этих четырёх прямых и будут вершинами искомого параллелограмма.