Номер 6.13, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.13. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, перпендикулярны.

6.13. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины его противолежащих сторон, перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, а точки $M, N, P$ и $Q$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. По условию задачи, диагонали четырёхугольника равны: $AC = BD$. Требуется доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$, соединяющие середины противолежащих сторон, перпендикулярны.

Рассмотрим четырёхугольник $MNPQ$, образованный соединением середин сторон исходного четырёхугольника.

Применим теорему о средней линии треугольника:

• В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно, $MN$ параллелен диагонали $AC$ и равен её половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $ADC$ отрезок $PQ$ является средней линией. Следовательно, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.
• В треугольнике $CBD$ отрезок $NP$ является средней линией. Следовательно, $NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2}BD$.

Из того, что $MN \parallel AC$ и $PQ \parallel AC$, следует, что $MN \parallel PQ$. Аналогично, $MQ \parallel NP$. Так как противолежащие стороны четырёхугольника $MNPQ$ попарно параллельны, то $MNPQ$ — параллелограмм (этот факт известен как теорема Вариньона).

Теперь воспользуемся условием, что диагонали $AC$ и $BD$ равны. Найдем длины сторон параллелограмма $MNPQ$:

$MN = PQ = \frac{1}{2}AC$

$MQ = NP = \frac{1}{2}BD$

Поскольку $AC = BD$, отсюда следует, что $MN = MQ$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ — ромб.

Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Диагоналями ромба $MNPQ$ являются отрезки $MP$ и $NQ$. Таким образом, $MP \perp NQ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.