Номер 6.6, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.6. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

6.6. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан произвольный четырёхугольник ABCD. Обозначим точки M, N, P, Q как середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Нам необходимо доказать, что отрезки MP и NQ, которые соединяют середины противолежащих сторон, в точке своего пересечения делятся пополам.

Доказательство:

1. Проведём в четырёхугольнике диагональ AC. Рассмотрим треугольник ABC. Так как точки M и N являются серединами сторон AB и BC, отрезок MN является средней линией этого треугольника. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом:

$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Аналогично, так как точки Q и P являются серединами сторон AD и CD, отрезок QP является средней линией треугольника ADC. Следовательно:

$QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.

3. Из двух предыдущих пунктов мы можем сделать вывод, что отрезки MN и QP параллельны друг другу (поскольку оба параллельны AC) и равны по длине (поскольку длина каждого из них равна половине длины AC):

$MN \parallel QP$ и $MN = QP$.

4. Рассмотрим четырёхугольник MNPQ. Мы установили, что его противолежащие стороны MN и QP равны и параллельны. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, MNPQ — это параллелограмм (это утверждение известно как теорема Вариньона).

5. Отрезки MP и NQ являются диагоналями параллелограмма MNPQ. Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Таким образом, мы доказали, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.