Номер 5.58, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.58. На стороне $AB$ и диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ отметили соответственно точки $P$ и $Q$ так, что $AP : PB = 3 : 2$, $AQ : QC = 4 : 1$. Найдите углы треугольника $PQD$.

5.58. На стороне $AB$ и диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ отметили соответ-ственно точки $P$ и $Q$ так, что $AP : PB = 3 : 2$, $AQ : QC = 4 : 1$. Най-дите углы треугольника $PQD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим квадрат ABCD в прямоугольную систему координат так, чтобы вершина A совпала с началом координат, сторона AB лежала на оси Ox, а сторона AD — на оси Oy.

1. Определение координат вершин и точек

Для удобства вычислений, основанных на данных отношениях ($3:2$ и $4:1$, сумма частей в обоих случаях равна 5), примем длину стороны квадрата равной 5. Тогда координаты вершин квадрата будут:

$A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(5, 5)$, $D(0, 5)$.

Найдем координаты точки P. Точка P лежит на стороне AB и, по условию, $AP : PB = 3 : 2$. Следовательно, длина отрезка $AP = \frac{3}{3+2} \cdot AB = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$. Так как P лежит на оси Ox, ее координаты $P(3, 0)$.

Найдем координаты точки Q. Точка Q лежит на диагонали AC и, по условию, $AQ : QC = 4 : 1$. Координаты точки Q, делящей отрезок с концами в $A(0,0)$ и $C(5,5)$, можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:

$x_Q = \frac{1 \cdot x_A + 4 \cdot x_C}{1+4} = \frac{1 \cdot 0 + 4 \cdot 5}{5} = \frac{20}{5} = 4$

$y_Q = \frac{1 \cdot y_A + 4 \cdot y_C}{1+4} = \frac{1 \cdot 0 + 4 \cdot 5}{5} = \frac{20}{5} = 4$

Таким образом, координаты точки $Q(4, 4)$.

2. Нахождение длин сторон треугольника PQD

Теперь у нас есть координаты всех вершин треугольника PQD: $P(3, 0)$, $Q(4, 4)$ и $D(0, 5)$. Найдем квадраты длин его сторон, используя формулу расстояния между точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$:

$PQ^2 = (4-3)^2 + (4-0)^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$

$QD^2 = (0-4)^2 + (5-4)^2 = (-4)^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$

$PD^2 = (0-3)^2 + (5-0)^2 = (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

3. Определение углов треугольника PQD

Из полученных длин сторон можно сделать следующие выводы:

Во-первых, так как $PQ^2 = QD^2$, то и $PQ = QD$. Это означает, что треугольник PQD — равнобедренный.

Во-вторых, проверим выполнение теоремы Пифагора. Сравним сумму квадратов двух сторон с квадратом третьей:

$PQ^2 + QD^2 = 17 + 17 = 34$

Это значение равно $PD^2$. Поскольку $PQ^2 + QD^2 = PD^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник PQD является прямоугольным. Прямой угол $\angle PQD$ лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) PD. Следовательно, $\angle PQD = 90^\circ$.

Так как $\triangle PQD$ является одновременно прямоугольным и равнобедренным, его углы при основании PD равны. Их величина составляет:

$\angle QPD = \angle QDP = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Ответ: 45°, 45°, 90°.